物理学领域最难的方程描述了看似简单的日常现象。这个悬赏数百万美元的纳维尔-斯托克斯方程中隐藏着哪些关于流体的奥秘？
物理学包含了大量的公式，这些公式描述了从宏观时空的延伸到微观光子的碰撞等各种物理现象。在所有这些公式中，有一组公式在数学上也是极具挑战性的，甚至被美国克莱数学研究所选为七大“千年奖谜题”之一，与庞加莱猜想P=NP有关？如数学中的顶级问题，解决这个问题的奖金高达100万美元。物理学中最难的公式是纳维尔-斯托克斯方程，用来描述流体运动。
最近，一项关于纳维尔-斯托克斯方程的新研究发表了。在某种程度上，新的研究结果表明，克服这一千年奖难题比预期的更加困难。为什么用数学理论解释这组方程如此困难，甚至相比之下，用来描述奇异黑洞的爱因斯坦场方程更容易？
湍流是答案。这是很普遍的现象。无论是三万英尺高空飞行时的湍流，还是家里浴缸出水口形成的漩涡，本质都是湍流。然而，熟悉的湍流是物理世界中最难理解的部分之一。
一条平稳流动的河流是一个典型的无湍流系统，河流的每一部分都以相同的速度运动。湍流打破了这一规律，使水流不同部分的运动方向和速度不同。物理学家对湍流的形成是这样描述的：首先在稳定的流动中出现一个旋涡，在这个旋涡中会形成更多的小旋涡。小旋涡进一步分化，使流体分解成许多离散的部分，这些部分在各自的运动方向上与其他部分相互作用。
科学家们希望了解平流如何逐渐解体为湍流，以及湍流系统的形状是如何演变的。但千禧年奖奖励的是一个更简单的问题：证明方程的解总是存在的。换句话说，这组方程组能描述任何流体在任何初始条件下，在未来任何时间点的情况吗？
“第一步是尽力证明这些方程可以产生一些解，”来自普林斯顿大学的数学家CharlieFefferman说。“虽然这不能真正让我们理解流体的行为，但如果不这样做，我们就不能开始解决这个难题。”
如何证明那些解的存在？首先考虑方程在什么条件下会“无解”。纳维尔-斯托克斯方程涉及速度、压力等物理量的变化。数学家关心的是这种情况：你在运算这组方程组，经过有限时间，系统中出现一个以无限速度运动的质点。那就麻烦了：对于一个无穷大的量，我们无法计算它的变化。数学家称这种情况为“爆破”。在“发散”的情况下，方程失效，解不复存在。
纳维尔-斯托克斯方程
证明“发散”不会发生(或者说方程的解总是存在)，就相当于证明流体中任何粒子的最大速度都被限制在某个有限值。在相关的物理量中，最重要的是流体中的动能。
当我们用纳维尔-斯托克斯方程来模拟流体时，流体会有一定的初始能量。但是在湍流中，这些能量会聚集在一起。原本分散在流体中的动能可能聚集在任何一个小漩涡中，那些漩涡中的粒子理论上可以被加速到无限大的速度。
“当我的研究进入越来越小的规模，动能对方程解的控制作用就越来越弱。解法可以任意，但不知如何限制。”普林斯顿大学的VladVicol表示，他和Tristan Buckmaster完成了纳维尔-斯托克斯方程的最新工作。
数学家根据方程失效的程度，将偏微分方程如纳维尔-斯托克斯方程进行分类。纳维尔-斯托克斯方程是分类谱系中的极端。这组方程组的数学难度，从某种意义上说，准确地反映了它所描述的湍流系统的复杂性。
“从数学的角度来看，如果放大某一点，就会丢失解的部分信息，”维科尔解释道。“但是对湍流的研究就是这样。3354动能从宏观转移到越来越小的尺度。所以湍流的研究需要你不断放大。
当谈到物理背后的数学公式时，我们很自然地想到：这会不会给我们研究物理世界的方式带来改变？纳维尔-斯托克斯方程和千年奖的答案是正反两方面的。经过近200年的实验，这些方程确实是有效的：用纳维尔-斯托克斯方程预测的流体流动总是与实验中观察到的流动相一致。如果你是物理学家，实验中这样的一致性可能就足够了。但是数学家需要更多的——。他们想确定这组方程是否具有普适性，他们想精确捕捉流体的瞬时变化(无论初始条件如何)，甚至定位湍流的起始点。
费夫曼说，“流体的表现总是令人惊讶。而那些行为都可以用这组基本方程从理论上解释。它能很好地描述流体的运动。然而，从描述流体运动的方程到描述任何流体的真实运动的过程仍然是未知的。”
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