什么是牛顿-拉夫逊法？
牛顿：艾萨克牛顿(1642年12月25日-1727年3月20日)是英国数学家、物理学家、天文学家、神学家和作家。他被认为是历史上最有影响力的科学家之一，也是科学革命的关键人物。他的《自然哲学的数学原理》一书于1687年首次出版，奠定了经典力学的基础。牛顿还对光学做出了开创性的贡献，并与戈特弗里德威廉莱布尼茨一起发展了微积分这门学科。
牛顿
拉韦森约瑟夫拉弗森生卒不详，最著名的作品是1690年出版的《通用分析方程》。它包含一种方法，现在称为牛顿-拉夫逊法，用于求近似方程的根。艾萨克牛顿在1671年写的《通量法》中发展了一个非常相似的公式，但这部著作直到1736年才发表，比拉尔夫分析。然而，这种方法的拉夫逊版本比牛顿法简单，所以它通常被认为是一种更好的方法。
所以牛顿迭代法(简称)是一种实数域和复数域近似求解方程的数学方法。那么这个方法的具体原理是什么呢？
牛顿如何迭代？
直接看数学公式来描述如何迭代是不直观的。先看动图容易理解牛顿迭代法为什么叫迭代法，怎么迭代：
牛顿迭代法的原理是一个初始点在该点相切，切线与X轴相交得到下一个迭代点的坐标，然后在该点相切，以此类推，直到得到满足精度的近似解。
从前面的描述中我们知道，牛顿迭代法是用来近似求解方程的。这里有两点需要说明：
为什么要近似解？很多方程可能无法直接求解。
迭代法非常适合计算机编程。事实上，计算机编程广泛用于牛顿迭代法。
让看，它是如何用数学描述的？其中是函数在的一阶导数，它是点的切线。让简单推一下上面公式的由来。一次函数方程是：如果知道一条直线的一个坐标点和斜率，就可以很容易地知道这条直线的方程：那么这条直线和轴的交点就是方程的解：
什么时候停止迭代？
解决
给一个初始假设根值，用上面的迭代公式迭代。
计算绝对相对迭代逼近误差
将绝对相对近似误差与预定的相对误差容限进行比较。如果是，重复步骤2，否则，算法停止。此外，检查迭代次数是否超过了允许的最大迭代次数。如果是这样，您需要终止算法并退出。另一个终止条件是：
怎么编码？
因为牛顿迭代法的主要目的是解方程，当然也可能用来求某个数学函数的极值，所以不可能写通用代码。这里只给出一种编码思路。我相信我已经掌握了思路，对于各种实际应用，应该可以快速写出符合实际应用的代码。假设一个函数具有以下波形：
它的一阶导数是：那么对于这个函数的根：大致从图中可以知道有两个根。如果直接解方程，很难找到它的根。您可以编写一个代码来尝试：
#include #include #include # define(x)(2 *(x)*(x)-10 * cos(x)(x)-80)# define EDF (x) (4 * (x)。float Newton _ root(float x0，floatprecision，floatmin_deltax，intmax_iterations) { floatxn，xn1，fn，fn1，dfnfloatdeltaxint step=0；xn=x0xn1=x0do { xn=xn1fn=F(xn)；dfn=DF(xn)；if (fabs (dfn) precision)返回nan否则返回fn；} xn1=xn-fn/dfn；fn1=F(xn1)；deltax=fabs(xn1-xn)；步；if(step max _ iterations){ if(fabs(fn1)precision | | delta xmin _ deltax)；returnxn1} void main(){ float root _ guess=23.0 f；floatprecision=0.00001ffloatmin _ deltax=0.001ffloatrootint step=7；root=Newton _ root(root _ guess，precision，min_deltax，step)；printf(根是：%f，函数值是：% f ，root，F(root))；root _ guess=-23；root=Newton _ root(root _ guess，precision，min_deltax，step)；printf(根是：%f，函数值是：% f ，root，F(root))；}结果：根为：6.457232，函数值为：0.00004，根为：-6.894969，函数值为：-0.00008。函数值非常接近0。如果需要更精确的数值，可以选择进一步求解，比如使用二分法近似。
需要注意什么？
如果斜率为0，则可以找到函数的极值，例如：
如果选取的初始猜测根靠近方程f(x)=0中函数f(x)的拐点，牛顿-拉夫逊法就可能开始偏离根。然后，它可能会收敛回根。例如：
5435866
如果选定的初始值不合适，一些根可能会被跳过，例如：
所以在实际应用中，你需要了解待解模型的大致情况，并合理调整。
有哪些应用？
比如知道一个系统的传递函数，求出传递函数的参数，就可以把上面的方法推广到求解多维变量方程组，导数就变成偏导数了。
例如，设计一个电路来测量物质的阻抗。
总结
牛顿在解决实际问题时，利用了迭代求解方程近似根的数学原理，在工程中有很好的实用价值。比如求一个趋势的极值，传递函数的参数辨识等。具有广泛的实际应用。这篇文章抛砖引玉，有可能文章有很多错漏。如有不同看法或发现错误，欢迎留言交流指正。
编辑：CC
标签：牛顿方程函数