本文目录
- 最短路径的解决方法
- 最短路径的概述
- 找最短路径的方法
- 最短路径优先算法
- 最短路径的介绍
- 初中数学最短路径口诀
- 初二数学最短路径技巧
- 最短路径算法
- 最短路径的Dijkstra算法
- floyd算法求最短路径怎么用
最短路径的解决方法
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法SPFA算法\Bellman-Ford算法Floyd算法\Floyd-Warshall算法Johnson算法A*算法所谓单源最短路径问题是指：已知图G=（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V到V中的每个结点的最短路径。 首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。
最短路径的概述
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。
找最短路径的方法
1），深度或广度优先搜索算法（解决单源最短路径）从起始结点开始访问所有的深度遍历路径或广度优先路径，则到达终点结点的路径有多条，取其中路径权值最短的一条则为最短路径。给定一个带权有向图G=（V,E），其中每条边的权是一个实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径 问题。从起始结点开始访问所有的深度遍历路径或广度优先路径，则到达终点结点的路径有多条，取其中路径权值最短的一条则为最短路径
最短路径优先算法
从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径叫做最短路径。解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法等。
最短路径的介绍
用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
初中数学最短路径口诀
初中数学中最短路径问题，生动地体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。 两点在直线同侧的最短路径问题 给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。 步骤： ①找到A(或B)关于直线的对称点P ②连接PB(PA)交直线于O，点O就是所要找的点 造桥选址问题 A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。 步骤： ①作出河的宽度M′N′ ②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′ ③连接A′B与河岸b交于N点 ④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。则MN就是桥的位置. 涉及到两个动点的最短路径问题 给出一个正方形，已知两个定点和两个动点， 要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。 步骤： ①找到两个定点关于正方形的边的对称点， ②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。 ③交点就是动点的位置 例题： (2015，广西玉林、防城港)如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 .
初二数学最短路径技巧
初中数学中解决最短路径问题,关键在于我们要学会作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
1、 理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
2、知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
3、解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
下面给大家列出了相应问题的解题方法与关键点，希望大家多多练习，最后附上了答案。
最短路径算法
Dijkstra算法，A*算法和D*算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的 A* 算法和 D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。大概过程：创建两个表，OPEN, CLOSE。OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。1． 访问路网中里起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。2． 从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE表中。3． 遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。4． 重复2，3，步。直到OPEN表为空，或找到目标点。提高Dijkstra搜索速度的方法很多，常用的有数据结构采用Binary heap的方法，和用Dijkstra从起始点和终点同时搜索的方法。A*（A-Star)算法是一种启发式算法，是静态路网中求解最短路最有效的方法。公式表示为： f(n)=g(n)+h(n), 其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：估价值h(n)《= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。如果 估价值》实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。conditions of heuristicOptimistic (must be less than or equal to the real cost)As close to the real cost as possible主要搜索过程：创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。遍历当前节点的各个节点，将n节点放入CLOSE中，取n节点的子节点X,-》算X的估价值-》While(OPEN!=NULL){从OPEN表中取估价值f最小的节点n;if(n节点==目标节点) break;else{if(X in OPEN) 比较两个X的估价值f //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值if( X的估价值小于OPEN表的估价值 ) 更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值if(X in CLOSE) 比较两个X的估价值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值if( X的估价值小于CLOSE表的估价值 ) 更新CLOSE表中的估价值; 把X节点放入OPEN //取最小路径的估价值if(X not in both)求X的估价值; 并将X插入OPEN表中; //还没有排序}将n节点插入CLOSE表中;按照估价值将OPEN表中的节点排序; //实际上是比较OPEN表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。}A*算法和Dijistra算法的区别在于有无估价值，Dijistra算法相当于A*算法中估价值为0的情况。动态路网，最短路算法 D*A* 在静态路网中非常有效（very efficient for static worlds），但不适于在动态路网，环境如权重等不断变化的动态环境下。 D*是动态A*（D-Star,Dynamic A*） 卡内及梅隆机器人中心的Stentz在1994和1995年两篇文章提出，主要用于机器人探路。是火星探测器采用的寻路算法。主要方法：1.先用Dijstra算法从目标节点G向起始节点搜索。储存路网中目标点到各个节点的最短路和该位置到目标点的实际值h,k（k为所有变化h之中最小的值,当前为k=h。每个节点包含上一节点到目标点的最短路信息1(2),2(5),5(4)，4（7）。则1到4的最短路为1-2-5-4。原OPEN和CLOSE中节点信息保存。2.机器人沿最短路开始移动，在移动的下一节点没有变化时，无需计算，利用上一步Dijstra计算出的最短路信息从出发点向后追述即可，当在Y点探测到下一节点X状态发生改变，如堵塞。机器人首先调整自己在当前位置Y到目标点G的实际值h(Y)，h(Y)=X到Y的新权值c(X,Y)+X的原实际值h(X).X为下一节点(到目标点方向Y-》X-》G），Y是当前点。k值取h值变化前后的最小。3.用A*或其它算法计算，这里假设用A*算法,遍历Y的子节点，点放入CLOSE,调整Y的子节点a的h值，h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a),比较a点是否存在于OPEN和CLOSE中，方法如下：while(){从OPEN表中取k值最小的节点Y;遍历Y的子节点a,计算a的h值 h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a){if(a in OPEN) 比较两个a的h值 if( a的h值小于OPEN表a的h值 ){ 更新OPEN表中a的h值;k值取最小的h值有未受影响的最短路经存在break; }if(a in CLOSE) 比较两个a的h值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值if( a的h值小于CLOSE表的h值 ){ 更新CLOSE表中a的h值; k值取最小的h值;将a节点放入OPEN表有未受影响的最短路经存在break;}if(a not in both)将a插入OPEN表中; //还没有排序}放Y到CLOSE表；OPEN表比较k值大小进行排序；}机器人利用第一步Dijstra计算出的最短路信息从a点到目标点的最短路经进行。D*算法在动态环境中寻路非常有效，向目标点移动中，只检查最短路径上下一节点或临近节点的变化情况，如机器人寻路等情况。对于距离远的最短路径上发生的变化，则感觉不太适用。
最短路径的Dijkstra算法
Dijkstra算法（迪杰斯特拉）是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。可以用堆优化。Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的 A* 算法和 D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。其采用的是贪心法的算法策略大概过程：创建两个表，OPEN, CLOSE。OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。1． 访问路网中距离起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。2． 从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE表中。3． 遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。4． 重复第2和第3步,直到OPEN表为空，或找到目标点。 #include《iostream》#include《vector》using namespace std;void dijkstra(const int &beg,//出发点 const vector《vector《int》 》 &adjmap,//邻接矩阵，通过传引用避免拷贝 vector《int》 &dist,//出发点到各点的最短路径长度 vector《int》 &path)//路径上到达该点的前一个点//负边被认作不联通//福利：这个函数没有用任何全局量，可以直接复制！{ const int &NODE=adjmap.size();//用邻接矩阵的大小传递顶点个数，减少参数传递 dist.assign(NODE,-1);//初始化距离为未知 path.assign(NODE,-1);//初始化路径为未知 vector《bool》 flag(NODE,0);//标志数组，判断是否处理过 dist[beg]=0;//出发点到自身路径长度为0 while(1) { int v=-1;//初始化为未知 for(int i=0; i!=NODE; ++i) if(!flag[i]&&dist[i]》=0)//寻找未被处理过且 if(v《0||dist[i]《dist[v])//距离最小的点 v=i; if(v《0)return;//所有联通的点都被处理过 flag[v]=1;//标记 for(int i=0; i!=NODE; ++i) if(adjmap[v][i]》=0)//有联通路径且 if(dist[i]《0||dist[v]+adjmap[v][i]《dist[i])//不满足三角不等式 { dist[i]=dist[v]+adjmap[v][i];//更新 path[i]=v;//记录路径 } }}int main(){ int n_num,e_num,beg;//含义见下 cout《《输入点数、边数、出发点：; cin》》n_num》》e_num》》beg; vector《vector《int》 》 adjmap(n_num,vector《int》(n_num,-1));//默认初始化邻接矩阵 for(int i=0,p,q; i!=e_num; ++i) { cout《《输入第《《i+1《《条边的起点、终点、长度（负值代表不联通）：; cin》》p》》q; cin》》adjmap[p][q]; } vector《int》 dist,path;//用于接收最短路径长度及路径各点 dijkstra(beg,adjmap,dist,path); for(int i=0; i!=n_num; ++i) { cout《《beg《《到《《i《《的最短距离为《《dist[i]《《，反向打印路径：; for(int w=i; path[w]》=0; w=path[w]) cout《《w《《《-; cout《《beg《《’\n’; }}
floyd算法求最短路径怎么用
Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径） 2.算法描述1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。2)算法步骤：a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则《u,v》正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则《u,v》权值为∞。b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。