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摘要：手把手教你用(Python)零起步数学+神经网络入门！
在这篇文章中，我们将在Python中从头开始了解用于构建具有各种层神经网络（完全连接，卷积等）的小型库中的机器学习和代码。最终，我们将能够写出如下内容：
假设你对神经网络已经有一定的了解，这篇文章的目的不是解释为什么构建这些模型，而是要说明如何正确实现。
逐层
我们这里需要牢记整个框架：
1. 将数据输入神经网络
2. 在得出输出之前，数据从一层流向下一层
3. 一旦得到输出，就可以计算出一个标量误差。
4. 最后，可以通过相对于参数本身减去误差的导数来调整给定参数（权重或偏差）。
5. 遍历整个过程。
最重要的一步是第四步。 我们希望能够拥有任意数量的层，以及任何类型的层。 但是如果修改/添加/删除网络中的一个层，网络的输出将会改变，误差也将改变，误差相对于参数的导数也将改变。无论网络架构如何、激活函数如何、损失如何，都必须要能够计算导数。
为了实现这一点，我们必须分别实现每一层。
每个层应该实现什么
我们可能构建的每一层（完全连接，卷积，最大化，丢失等）至少有两个共同点：输入和输出数据。
现在重要的一部分
假设给出一个层相对于其输出（∂E/∂Y）误差的导数，那么它必须能够提供相对于其输入（∂E/∂X）误差的导数。
è®°ä½ï¼Eæ¯æ éï¼ä¸ä¸ªæ°åï¼ï¼XåYæ¯ç©éµã
我们可以使用链规则轻松计算∂E/∂X的元素：
为什么是∂E/∂X？
对于每一层，我们需要相对于其输入的误差导数，因为它将是相对于前一层输出的误差导数。这非常重要，这是理解反向传播的关键！在这之后，我们将能够立即从头开始编写深度卷积神经网络！
花样图解
基本上，对于前向传播，我们将输入数据提供给第一层，然后每层的输出成为下一层的输入，直到到达网络的末端。
对于反向传播，我们只是简单使用链规则来获得需要的导数。这就是为什么每一层必须提供其输出相对于其输入的导数。
这可能看起来很抽象，但是当我们将其应用于特定类型的层时，它将变得非常清楚。现在是编写第一个python类的好时机。
抽象基类：Layer
所有其它层将继承的抽象类Layer会处理简单属性，这些属性是输入，输出以及前向和反向方法。
from abc import abstractmethod# Base classclass Layer: def __init__(self): self.input = None; self.output = None; self.input_shape = None; self.output_shape = None; # computes the output Y of a layer for a given input X @abstractmethod def forward_propagation(self, input): raise NotImplementedError # computes dE/dX for a given dE/dY (and update parameters if any) @abstractmethod def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): raise NotImplementedError
正如你所看到的，在back_propagation函数中，有一个我没有提到的参数，它是learning_rate。 此参数应该类似于更新策略或者在Keras中调用它的优化器，为了简单起见，我们只是通过学习率并使用梯度下降更新我们的参数。
全连接层
现在先定义并实现第一种类型的网络层：全连接层或FC层。FC层是最基本的网络层，因为每个输入神经元都连接到每个输出神经元。
前向传播
每个输出神经元的值由下式计算：
使用矩阵，可以使用点积来计算每一个输出神经元的值：
当完成前向传播之后，现在开始做反向传播。
反向传播
正如我们所说，假设我们有一个矩阵，其中包含与该层输出相关的误差导数（∂E/∂Y）。 我们需要 ：
1.关于参数的误差导数（∂E/∂W，∂E/∂B）
2.关于输入的误差导数（∂E/∂X）
首先计算∂E/∂W，该矩阵应与W本身的大小相同：对于ixj，其中i是输入神经元的数量，j是输出神经元的数量。每个权重都需要一个梯度：
使用前面提到的链规则，可以写出：
那么：
这就是更新权重的第一个公式！现在开始计算∂E/∂B：
同样，∂E/∂B需要与B本身具有相同的大小，每个偏差一个梯度。 我们可以再次使用链规则：
得出结论：
现在已经得到∂E/∂W和∂E/∂B，我们留下∂E/∂X这是非常重要的，因为它将“作用”为之前层的∂E/∂Y。
再次使用链规则：
最后，我们可以写出整个矩阵：
æ们已ç»å¾å°FCå±æéçä¸ä¸ªå ¬å¼ï¼
编码全连接层
现在我们可以用Python编写实现：
from layer import Layerimport numpy as np# inherit from base class Layerclass FCLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons # output_shape = (1,j) j the number of output neurons def __init__(self, input_shape, output_shape): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = output_shape; self.weights = np.random.rand(input_shape[1], output_shape[1]) - 0.5; self.bias = np.random.rand(1, output_shape[1]) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.dot(self.input, self.weights) + self.bias; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): input_error = np.dot(output_error, self.weights.T); dWeights = np.dot(self.input.T, output_error); # dBias = output_error # update parameters self.weights -= learning_rate * dWeights; self.bias -= learning_rate * output_error; return input_error;
激活层
到目前为止所做的计算都完全是线性的。用这种模型学习是没有希望的，需要通过将非线性函数应用于某些层的输出来为模型添加非线性。
现在我们需要为这种新类型的层（激活层）重做整个过程！
不用担心，因为此时没有可学习的参数，过程会快点，只需要计算∂E/∂X。
我们将f和f'分别称为激活函数及其导数。
前向传播
正如将看到的，它非常简单。对于给定的输入X，输出是关于每个X元素的激活函数，这意味着输入和输出具有相同的大小。
反向传播
给出∂E/∂Y，需要计算∂E/∂X
注意，这里我们使用两个矩阵之间的每个元素乘法（而在上面的公式中，它是一个点积）
编码实现激活层
激活层的代码非常简单：
from layer import Layer# inherit from base class Layerclass ActivationLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons def __init__(self, input_shape, activation, activation_prime): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = input_shape; self.activation = activation; self.activation_prime = activation_prime; # returns the activated input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = self.activation(self.input); return self.output; # Returns input_error=dE/dX for a given output_error=dE/dY. # learning_rate is not used because there is no "learnable" parameters. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): return self.activation_prime(self.input) * output_error;
可以在单独的文件中编写一些激活函数以及它们的导数，稍后将使用它们构建ActivationLayer：
import numpy as np# activation function and its derivativedef tanh(x): return np.tanh(x);def tanh_prime(x): return 1-np.tanh(x)**2;
损失函数
到目前为止，对于给定的层，我们假设给出了∂E/∂Y（由下一层给出）。但是最后一层怎么得到∂E/∂Y？我们通过简单地手动给出最后一层的∂E/∂Y，它取决于我们如何定义误差。
网络的误差由自己定义，该误差衡量网络对给定输入数据的好坏程度。有许多方法可以定义误差，其中一种最常见的叫做MSE - Mean Squared Error：
其中y *和y分别表示期望的输出和实际输出。你可以将损失视为最后一层，它将所有输出神经元吸收并将它们压成一个神经元。与其他每一层一样，需要定义∂E/∂Y。除了现在，我们终于得到E！
以下是两个python函数，可以将它们放在一个单独的文件中，将在构建网络时使用。
import numpy as np# loss function and its derivativedef mse(y_true, y_pred): return np.mean(np.power(y_true-y_pred, 2));def mse_prime(y_true, y_pred): return 2*(y_pred-y_true)/y_true.size;
网络类
到现在几乎完成了！我们将构建一个Network类来创建神经网络，非常容易，类似于第一张图片！
我注释了代码的每一部分，如果你掌握了前面的步骤，那么理解它应该不会太复杂。
from layer import Layerclass Network: def __init__(self): self.layers = []; self.loss = None; self.loss_prime = None; # add layer to network def add(self, layer): self.layers.append(layer); # set loss to use def use(self, loss, loss_prime): self.loss = loss; self.loss_prime = loss_prime; # predict output for given input def predict(self, input): # sample dimension first samples = len(input); result = []; # run network over all samples for i in range(samples): # forward propagation output = input[i]; for layer in self.layers: # output of layer l is input of layer l+1 output = layer.forward_propagation(output); result.append(output); return result; # train the network def fit(self, x_train, y_train, epochs, learning_rate): # sample dimension first samples = len(x_train); # training loop for i in range(epochs): err = 0; for j in range(samples): # forward propagation output = x_train[j]; for layer in self.layers: output = layer.forward_propagation(output); # compute loss (for display purpose only) err += self.loss(y_train[j], output); # backward propagation error = self.loss_prime(y_train[j], output); # loop from end of network to beginning for layer in reversed(self.layers): # backpropagate dE error = layer.backward_propagation(error, learning_rate); # calculate average error on all samples err /= samples; print('epoch %d/%d error=%f' % (i+1,epochs,err));
构建一个神经网络
最后！我们可以使用我们的类来创建一个包含任意数量层的神经网络！为了简单起见，我将向你展示如何构建......一个XOR。
from network import Networkfrom fc_layer import FCLayerfrom activation_layer import ActivationLayerfrom losses import *from activations import *import numpy as np# training datax_train = np.array([[[0,0]], [[0,1]], [[1,0]], [[1,1]]]);y_train = np.array([[[0]], [[1]], [[1]], [[0]]]);# networknet = Network();net.add(FCLayer((1,2), (1,3)));net.add(ActivationLayer((1,3), tanh, tanh_prime));net.add(FCLayer((1,3), (1,1)));net.add(ActivationLayer((1,1), tanh, tanh_prime));# trainnet.use(mse, mse_prime);net.fit(x_train, y_train, epochs=1000, learning_rate=0.1);# testout = net.predict(x_train);print(out);
同样，我认为不需要强调很多事情，只需要仔细训练数据，应该能够先获得样本维度。例如，对于xor问题，样式应为（4,1,2）。
结果
$ python xor.py epoch 1/1000 error=0.322980epoch 2/1000 error=0.311174epoch 3/1000 error=0.307195...epoch 998/1000 error=0.000243epoch 999/1000 error=0.000242epoch 1000/1000 error=0.000242[array([[ 0.00077435]]), array([[ 0.97760742]]), array([[ 0.97847793]]), array([[-0.00131305]])]
卷积层
这篇文章开始很长，所以我不会描述实现卷积层的所有步骤。但是，这是我做的一个实现：
from layer import Layerfrom scipy import signalimport numpy as np# inherit from base class Layer# This convolutional layer is always with stride 1class ConvLayer(Layer): # input_shape = (i,j,d) # kernel_shape = (m,n) # layer_depth = output depth def __init__(self, input_shape, kernel_shape, layer_depth): self.input_shape = input_shape; self.input_depth = input_shape[2]; self.kernel_shape = kernel_shape; self.layer_depth = layer_depth; self.output_shape = (input_shape[0]-kernel_shape[0]+1, input_shape[1]-kernel_shape[1]+1, layer_depth); self.weights = np.random.rand(kernel_shape[0], kernel_shape[1], self.input_depth, layer_depth) - 0.5; self.bias = np.random.rand(layer_depth) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.zeros(self.output_shape); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): self.output[:,:,k] += signal.correlate2d(self.input[:,:,d], self.weights[:,:,d,k], 'valid') + self.bias[k]; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): in_error = np.zeros(self.input_shape); dWeights = np.zeros((self.kernel_shape[0], self.kernel_shape[1], self.input_depth, self.layer_depth)); dBias = np.zeros(self.layer_depth); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): in_error[:,:,d] += signal.convolve2d(output_error[:,:,k], self.weights[:,:,d,k], 'full'); dWeights[:,:,d,k] = signal.correlate2d(self.input[:,:,d], output_error[:,:,k], 'valid'); dBias[k] = self.layer_depth * np.sum(output_error[:,:,k]); self.weights -= learning_rate*dWeights; self.bias -= learning_rate*dBias; return in_error;
它背后的数学实际上并不复杂！这是一篇很好的文章，你可以找到∂E/∂W，∂E/∂B和∂E/∂X的解释和计算。
如果你想验证你的理解是否正确，请尝试自己实现一些网络层，如MaxPooling，Flatten或Dropout
GitHub库
你可以在GitHub库中找到用于该文章的完整代码。
本文由阿里云云栖社区组织翻译。
文章原标题《math-neural-network-from-scratch-in-python》
作者：Omar Aflak 译者：虎说八道，审校：袁虎。
2、满分作文精选赏析
满分作文精选赏析
“教诲如春风，师恩似海深”。园丁——这个崇高的称号，包含着老师多少个日日夜夜的汗水?流露出老师多少个40分钟的心血?作为学生，我们是否应该学会感恩呢?
她，是一个平凡而又不一般的人;她，是一个其貌不扬而又无比高尚的人;她，是一个默默无闻而又无私奉献的人。她，就是我们班主任——项老师。
在二年级的时候，也就是项老师接过我们班的那个学期。我的成绩并不出类拔萃。而且是一个胆怯的小女孩。有时候在脑子里想好了，可是一发言，就紧张起来，把答案忘得一干二净，站着不知所措。但是老师还是一个劲得鼓励我和同学们：对错并不重要，只要肯动脑筋。
记得有一天。下课时，同学们正玩得起劲。突然，一位男同学不小心撞到了头部，顿时起了一个大包，血流满地。同学们都慌了神，急忙把他送到老师办公室去。老师见状，连忙用纸巾捂住他的伤口，并扶他去义务室治疗。上课时，老师批评了同学们不应该那么调皮，但是语气中流露出更多的是担心。
以前，我们小。学校在一定时间里要出黑板报，老师就放弃了半天的休息时间，为我们出黑板报。看着我们津津有味地读着黑板报上的故事，老师的心苦没有白费;以前，我们小。读不懂课文，老师就一遍又一遍地教。看着我们的成绩，老师的汗水没有白费;以前，我们小。有很多字不认识，尽管这样，老师还是提倡我们多读课外书。现在我们积极地看书，老师的心血没有白费……现在，我们长大了，老师一如既往耐心地教育我们，而且还给我们许多锻炼的机会：班干部竟选。组织班队会……这些都是让我们加强表达能力。施展自已才能的机会吧?
老师，我是小船，您是大海，没有您，我怎么能远航?老师，我是泉水，你是高山，没有您，我怎么能潺潺流淌?老师，我是幼苗，您是雨水，没有您，我怎么能出壮成长?您用知识甘露，种下我们的理想花朵;您用心灵源泉，润育我们品德的美果。在不久的将来，我不论成为挺拔的白杨，还是不起眼的小草野花;老师，我都会以所有的翠绿向你致敬!我衷心向您道声：“老师，谢谢您!”。
满分作文精选赏析
许多人时常慨叹：知音难求。何为知音，知音难道不是人生中的鼓掌者?
当年，俞伯牙轻奏《高山流水》时，钟子期为之高声喝彩，于是钟子期便成了俞老先生的知音。高山流水不断，流传着一曲千载称颂的金兰之交的赞歌。然而，水已去，人也亡，弦断有谁听。人生中的喝彩者走了，生命也就枯萎了。
人生，就像开放在郊外的野花，万紫千红，芳香四滥。人生的'掌声犹如阳光雨露，滋润着每一叶花瓣。恩赐是一片照射在冬日的阳光，使饥寒交迫的人感到人间的温暖，而掌声比恩赐更为重要，精神的鼓励激动着每一个孤独无助的行人。
人生，就像颠簸在海上的小船，乘风破浪，勇往直前。人生的掌声犹如远方的灯塔，引你挂云帆，济沧海。恩赐是一缕海上轻柔的微风，使躁动不安的人感到人世的温情，而掌声比爱心更为重要，心灵的通道连接着每一个沉思忧郁的哲人。
有这样一个故事：一个街头卖艺者，其琴声悠扬，令人感动，吸引了不少行人。拉完一曲，周围的人纷纷向钱罐里丢钱，转眼工夫，钱已装满了罐子，但卖艺人脸上并没有一些欣喜的笑容。后来，一个旅游者抬起手来为之鼓掌，卖艺人跟里溢出了感激的泪水。可见，卖艺者是哲人，他寻求的`是知音，期待的是掌声。人生需要掌声，掌声比恩赐比金钱更为重要。
当你失落丧气时，你希望有人给你勇气;当你犹豫彷徨时，你希望有人给你理解;当你精神穷困时，你希望给你热烈的掌声。是的，我们在不断地等待着，祈求着爱心的降临，但我们更在时时刻刻寻找着知音，寻找着精神世界的同路人。只有这样，我们才不至于绝望，也会像那位卖艺人一样流出感激的泪水。
没有掌声的演出是可怕的，有谁受得了死一般的寂静;没有掌声的人生是可悲的，有谁愿意在压抑中生存。人生缺少了掌声，只会剩下英雄垂泪、七子悲歌的结局。正如当年的屈原，世人皆浊唯他独清，世人皆醉唯他独醒，有心报国却无力回天。没有掌声没有理解只有渔夫
的叹息，终于使他熄灭希望之火，生命之灯。
人生的掌声永不能停息，它永远激励着人追求灵魂的高尚与完善，掌声比爱心比金钱更为重要。
让掌声响起来，人生需要掌声。
满分作文精选赏析
“教诲如春风，师恩似海深”。园丁——这个崇高的称号，包含着老师多少个日日夜夜的汗水?流露出老师多少个40分钟的心血?作为学生，我们是否应该学会感恩呢?
她，是一个平凡而又不一般的人;她，是一个其貌不扬而又无比高尚的人;她，是一个默默无闻而又无私奉献的人。她，就是我们班主任——项老师。
在二年级的时候，也就是项老师接过我们班的那个学期。我的成绩并不出类拔萃。而且是一个胆怯的小女孩。有时候在脑子里想好了，可是一发言，就紧张起来，把答案忘得一干二净，站着不知所措。但是老师还是一个劲得鼓励我和同学们：对错并不重要，只要肯动脑筋。
记得有一天。下课时，同学们正玩得起劲。突然，一位男同学不小心撞到了头部，顿时起了一个大包，血流满地。同学们都慌了神，急忙把他送到老师办公室去。老师见状，连忙用纸巾捂住他的伤口，并扶他去义务室治疗。上课时，老师批评了同学们不应该那么调皮，但是语气中流露出更多的是担心。
以前，我们小。学校在一定时间里要出黑板报，老师就放弃了半天的休息时间，为我们出黑板报。看着我们津津有味地读着黑板报上的故事，老师的心苦没有白费;以前，我们小。读不懂课文，老师就一遍又一遍地教。看着我们的成绩，老师的汗水没有白费;以前，我们小。有很多字不认识，尽管这样，老师还是提倡我们多读课外书。现在我们积极地看书，老师的心血没有白费……现在，我们长大了，老师一如既往耐心地教育我们，而且还给我们许多锻炼的机会：班干部竟选。组织班队会……这些都是让我们加强表达能力。施展自已才能的机会吧?
老师，我是小船，您是大海，没有您，我怎么能远航?老师，我是泉水，你是高山，没有您，我怎么能潺潺流淌?老师，我是幼苗，您是雨水，没有您，我怎么能出壮成长?您用知识甘露，种下我们的理想花朵;您用心灵源泉，润育我们品德的美果。在不久的将来，我不论成为挺拔的白杨，还是不起眼的小草野花;老师，我都会以所有的翠绿向你致敬!我衷心向您道声：“老师，谢谢您!”。
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