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内容导航：1、空间直线的方向向量怎么求：直线的方向向量怎么求2、高三数学知识点-空间向量1、空间直线的方向向量怎么求：直线的方向向量怎么求
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。
比如直线x+2y-z=7-2x+y+z=7
(1)先求一个交点,将z随便取值解出x和y不妨令z=0由x+2y=7-2x+y=7解得x=-7/5,y=21/5所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点
(2)求方向向量因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-2,1,1)，所求直线的方向向量垂直于2个法向量。由外积可求方向向量=(1,2,-1)×(-2,1,1)=i j k1 2 -1-2 1 1=3i+j+5k所以直线方向向量为(3,1,5)
把直线上的向量以及与之共线的向量叫做直线的方向向量。
所以只要给定直线，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。即已知直线l：ax+by+c=0，则直线l的方向向量为d1=(-b,a)或d2=(b,-a)。
已知定点Pο（xο,yο,zο)及非零向量v={l,m,n},则经过点Pο且与v平行的直线L就被确定下来，因此，点Pο与v是确定直线L的两个要素，v称为L的方向向量。由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个。
2、高三数学知识点-空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
运算律：⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
⑶数乘分配律：λ（a+b）=λa+λb
3共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b记作a//b．
当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
推论：如果ι为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线ι上的充要条件是存在实数t满足等式 OP=OA+ta．
其中向量a叫做直线ι的方向向量.
5．向量与平面平行：
已知平面α和向量a，作OA=a，如果直线OA平行于α或在α内，那么我们说向量α平行于平面α，记作：a//α．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果两个向量a，b不共线，P与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使P=xa+yb
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x，y，使MP=xMA+yMB或对空间任一点O，有OP=OM+xMA+yMB ①
①式叫做平面MAB的向量表达式
7 空间向量基本定理：
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc
推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC
8 空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量a，b在空间任取一点O，作OA=a，OB=b则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作<a，b>；且规定0≤<a,b>≤π，显然有<a,b>=<b,a>；若<a,b>=π/2，则称a与b互相垂直，记作：a⊥b.
9．向量的模：
设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.
10．向量的数量积： a·b=|a|·|b|·cos<a,b>．
已知向量AB=a和轴ι，e是ι上与ι同方向的单位向量，作点A在ι上的射影A'，作点B在ι上的射影B'，则A'B'叫做向量AB在轴ι上或在e上的正射影.
可以证明A'B'的长度|A'B'|=|AB|cos<a,e>=|a,e|．
11．空间向量数量积的性质：
（1）a·e=|a|cos<a,e>．
（2）a⊥b<=>a·b=0．
（3）|a|²=a·a．
12．空间向量数量积运算律：
（1）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）．
（2）a·b=b·a（交换律）
（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令a=(a1,a2,a3),b=（b₁，b₂，b₃），则a+b=（a₁±b₁，a₂±b₂，a₃±b₃）
λ a=（λa₁，λa₂，λ₃）（λ∈R）
a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0
a//b<=>a₁=λb₁,a₂=λ₂,a₃=λ₃(λ∈R)<=>₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃
a⊥b<=>a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0
|a|=√(a·a)=√(a₁²+a₂²+a₃²)(用到常用的向量模与向量之间的转化：|a|²=a·a=>|a|=√(a·a))
cos<a,b>=a·b/|a|·|b|=（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)/ √(a₁²+a₂²+a₃²)·√(b₁²+b₂²+b₃²)
②空间两点的距离公式：d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²].
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α那么向量a叫做平面α的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条射线，其中A∈α，则点B到平面α的距离为|AB·n|/|n|.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设n₁，n₂分别是二面角α-ι-β中平面α，β的法向量，则n₁，n₂所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n₁，n₂方向相同，则为补角，n₁，n₂反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线a≠不包含平面α，A·B∈a，C·D∈α，且CDE三点不共线，则a∥α的充要条件是存在有序实数对λ·μ使AB=λCD+μCE.（常设AB=λCD+μCE求解λ,μ若λ,μ存在即证毕，若,λμ不存在，则直线AB与平面相交）.
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