抛物线焦点弦

大家好，小编来为大家解答以下问题，抛物线焦点弦的八大结论推导过程，抛物线焦点弦公式推导过程，今天让我们一起来看看吧！

抛物线焦点弦公式是什么？

焦点弦公式2p/sina^2。

抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

焦点弦：

焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦。焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的，焦点弦长就是这两个焦半径长之和。连接圆锥曲线上任意两点得到的线段叫做圆锥曲线的弦。若这条弦经过焦点，则称为焦点弦。焦点弦也可以看成由同一直线上的两条焦半径构成。

抛物线的焦点弦是什么？

抛物线的焦点弦是：焦点弦长就是两个焦半径长之和。焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。

相关简介：

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。x²=2py或x²=-2py时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。

焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。

抛物线的焦点弦是什么？

抛物线的焦点弦是：焦点弦长就是两个焦半径长之和。焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。

推导过程：

设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）

(y2-y1)/(x2-x1)=tanα。

|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]。

设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)。

即直线为y=tanαx-ptanα/2。

联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0。

那么(x2-x1)^2

=(x2+x1)^2-4x1x2。

=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2。

=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4。

那么|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2。

抛物线的焦点弦公式及推导

抛物线

焦点弦公式2p/sina^2

证明：设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点F(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于A（x1,y1),B(x2,y2)。

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0。

所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2。

由抛物线定义，AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,。

BF=x2+p/2

所以AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a。

证毕！

抛物线焦点弦性质及推导过程

抛物线焦点弦性质及推导过程：

要证结论，得先给出定义：

定义：由平面内到一个定点和一条定直线距离相等的所有点构成的图形，称为抛物线。定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线,，焦点到准线的距离称为焦准距。

结论 1　抛物线是轴对称图形，准线过焦点的垂线是它的一条对称轴.。

证明

设焦点为 FF, 准线为 ll, 轴为 aa, 抛物线上有一点 PP. 过 PP 作 PP′⊥lPP′⊥l, 垂足为 P′P′. 当 PP 不在 aa 上时，作 PP 关于 aa 的对称点 QQ, 作 P′P′ 关于 aa 的对称点 Q′Q′. 连接 FPFP、FQFQ. 由 a⊥la⊥l 知 PP′∥aPP′∥a, 所以 QQ′∥aQQ′∥a, 所以 QQ′⊥lQQ′⊥l. 由对称知 PP′=QQ′PP′=QQ′, FP=FQFP=FQ, 又 FP=PP′FP=PP′, 所以 FQ=QQ′FQ=QQ′, 所以 QQ 在抛物线上, 结论得证.。

定义　抛物线的准线过焦点的垂线称为抛物线的轴, 轴与抛物线的交点称为抛物线的顶点.。

结论 2　设抛物线的焦点为 FF, 顶点为 OO, 焦准距为 pp, 对于抛物线上任意一点 PP, FP=p1+cos∠OFPFP=p1+cos⁡∠OFP.。

证明

设 FP=ρFP=ρ, ∠OFP=θ∠OFP=θ.。

如图，当 θ>90∘θ>90∘ 时，作 FPFP 在轴上的投影，易得 ρ=p−ρcosθρ=p−ρcos⁡θ. 整理得 ρ=p1+cosθρ=p1+cos⁡θ, 即 FP=p1+cos∠OFPFP=p1+cos⁡∠OFP.。

同理可证当 0∘<θ<90∘0∘<θ<90∘ 时，结论仍然成立.。

当 θ=90∘θ=90∘ 时，PF=pPF=p, 结论仍然成立。

当 θ=0∘θ=0∘ 时，PF=p2PF=p2, 结论仍然成立.。

综上，对于抛物线上任意一点 PP, 结论成立.。

推论 1　设抛物线的焦准距为 pp, 过抛物线焦点 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点，则有 1AF+1BF=2p1AF+1BF=2p.。

推论 2　设抛物线的顶点为 OO, 焦准距为 pp, ∠OFP=θ∠OFP=θ, 过抛物线焦点 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点，则有 AB=2psin2θAB=2psin2⁡θ.。

结论 3　设抛物线轴与准线的交点为 KK, 过抛物线焦点 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点, 则轴平分 ∠AKB∠AKB.。

如图，设准线为 ll, 轴为 aa, 过 AA 作 AD⊥lAD⊥l, 交 ll 于 DD, 过 B 作 BC⊥lBC⊥l, 交 ll 于 CC.。

∵∵ AD⊥lAD⊥l 且 BC⊥lBC⊥l。

∴∴ AD∥aAD∥a 且 BC∥aBC∥a。

∴∴ KDKC=FAFBKDKC=FAFB。

又 ∵∵ FA=ADFA=AD 且 FB=BCFB=BC。

∴∴ KDKC=ADBCKDKC=ADBC。

∴∴ △KDA∼△KCB△KDA∼△KCB。

∴∴ ∠DKA=∠CKB∠DKA=∠CKB。

∴∴ 轴平分 ∠AKB∠AKB。

结论 4　设抛物线焦点为 FF, 准线为 ll, 轴与准线的交点为 KK, 过 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点，过 AA 作 AD⊥lAD⊥l, 交 ll 于 DD, 过 B 作 BC⊥lBC⊥l, 交 ll 于 CC, 则FDFD 平分 ∠KFA∠KFA, FCFC 平分 ∠KFB∠KFB, FC⊥FDFC⊥FD.。

证明

∵∵ FB=BCFB=BC, FA=ADFA=AD。

∴∴ ∠AFD=∠ADF∠AFD=∠ADF, ∠BFC=∠BCF∠BFC=∠BCF。

∵∵ KF∥ADKF∥AD, KF∥BCKF∥BC。

∴∴ ∠KFD=∠ADF∠KFD=∠ADF, ∠KFC=∠FCB∠KFC=∠FCB。

∴∴ FDFD 平分 ∠KFA∠KFA, FCFC 平分 ∠KFB∠KFB。

∴∴ FC⊥FDFC⊥FD

能想到的性质暂时就这么多。欢迎补充。

抛物线焦点弦的性质

被抛物线过其焦点截得的线段称为它的焦点弦，性质如下。

通径长度为2p，通径即0=90°时的焦点弦。

以AB为直径的圆必与1相切。

以AF为直径的圆与v轴相切。

直线BB'与抛物线的对称轴平行。

过点A作AA垂直于l，垂足为A'点，过点B作BB垂直于l，垂足为B'点，以A'B'为直径的圆与直线AB相切，切点为F，连接AF、B'F，则有A'F垂直于B'F。

函数的有关概念：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

1、分式的分母不等于零；

2、偶次方根的被开方数不小于零；

3、对数式的真数必须大于零；

4、指数、对数式的底必须大于零且不等于1；

5、如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的。那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。

抛物线焦点弦的八大结论是什么？

总结一下有四大类共18个结论，

第一类是常见的基本结论；

第二类是与圆有关的结论；

第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；

第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

①过抛bai物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点。

A(x1,y1),B(x2,y2).则。

|AB|=x1+x2+p

证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D。由于L的方程是x＝-p/2,所以。

|AC|=x1+p/2,|BD|=x2+p/2,。

根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,。

所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.。

类似有：

②过抛物线x^2=2py的焦点F的弦AB与它交于点。

A(x1,y1),B(x2,y2).则。

|AB|=y1+y2+p.

③过抛物线y^2=-2px的焦点F的弦AB与它交于点。

A(x1,y1),B(x2,y2).则。

|AB|=-x1-x2+p.

④过抛物线x^2=-2py的焦点F的弦AB与它交于点。

A(x1,y1),B(x2,y2).则。

|AB|=-y1-y2+p

扩展资料：

一般的圆锥曲线弦长可以用弦长公式来求，但因为焦点弦经过焦点这条特殊的性质，使得焦点弦长有着其他更加方便的求法（根据已知信息选择相应公式）。

注意：双曲线有两条分支，焦点弦的端点在同一支上时，焦点在焦点弦上，此时焦点弦长为两条焦半径之和。焦点弦的端点在两支上时，焦点在焦点弦的延长线上，此时焦点弦长为两条焦半径之差。公式中的字母与椭圆的情况相同。

类比椭圆的第一个公式，椭圆左焦点弦和双曲线两支左焦点弦表达式相同，和双曲线同支左焦点弦表达式互为相反数，另一边同理。

参考资料来源：百度百科-焦点弦。

抛物线焦点弦长怎样求？

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。在抛物线y²=-2px中，d=p-(x1+x2)。在抛物线x²=2py中，弦长公式为d=p+y1+y2。在抛物线x²=-2py中，弦长公式为d=p-(y1+y2)。

在y²=2px中，过焦点直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2，图形关于x轴对称，焦点为（p/2,0）。

抛物线焦点弦的结论：

1、过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点。

A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB|=x1+x2+p。

证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D，由于L的方程是x＝－p/2，所以｜AC|=x1+p/2，|BD|=x2+p/2，根据抛物线的定义有：｜AF|=|AC|，|BF|=|BD|，

所以：｜AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p。

2、过抛物线x^2=2py的焦点F的弦AB与它交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB|=y1+y2+p。

3、过抛物线y^2=-2px的焦点F的弦AB与它交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB|=-x1-x2+p。

4、过抛物线x^2=-2py的焦点F的弦AB与它交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB|=-y1-y2+p。

抛物线焦点弦长公式是什么?

抛物线焦点弦长公式是2p/sina^2。

设抛物线为y^2=2px(p>0)，过焦点f(p/2，0)的弦直线方程为y=k(x-p/2)，直线与抛物线交于a（x1，y1)，b(x2，y2)。

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0。所以，x1+x2=p(k^2+2)/k^2。

由抛物线定义，af=a到准线x=-p/2的距离＝x1+p/2，bf=x2+p/2。所以：

ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a。

抛物线焦点弦的性质

焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上，并且该交点与焦点的连线垂直于这条焦点弦。反过来，过准线上任意一点作圆锥曲线的两条切线，连接这两个切线的直线将通过焦点。

以焦点弦为直径的圆与相应准线的关系：椭圆——相离；双曲线——相交；抛物线——相切。