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下文节选自《简单微积分》, 已获图灵新知授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢!
积分应用的基础
小学所学的图形面积、体积的计算，实际上是与积分世界相连通的。积分并不是高中教材中突然半路杀出的“程咬金”，初等教育中相关内容的学习，已经为迈入积分世界做了充分的热身。
而对于微分，大部分人都感觉不是很熟悉。说起微分，就会提到“切线斜率”“瞬时速度”“加速度”，这些内容怎么理解都很难懂。这些东西我们无法直接用眼睛看到，很难直观上去把握。
从历史上来看，积分比微分要更早出现。
积分法的起源是“测量图形的大小”。古时候图形长度、面积、体积的计算方法，通过口传心授得以流传，经过历代人的智慧的锤炼，进而发展成为现在的积分法。
探寻积分法诞生的历史，大致可以追溯到公元前1800年左右。公元前200年的阿基米德时代1，在计算抛物线和直线围成的图形面积问题上，已经出现了与现在积分法十分相似的“穷举法”。积分的历史，还真是悠久。
到了12世纪，印度的婆什迦罗二世提出了积分法的“前身”方法。进入17世纪，牛顿综合了微分法和积分法，尝试从万有引力理论来推导天体的运动规律。
总之，从积分出现到微分诞生，至少有长达1300年的间隔。
积分之所以会较早出现，是因为人类需要把握那些可见的东西，例如计算物体的面积、体积等。
初等教育中的图形计算，通常只针对长方形、圆形等规规矩矩的图形。而现实情况中，这些知识往往难以直接去应用。
这是因为，现实世界中存在的物质，并非都是学校中学习的那些规则的形状。相反，那些规则的形状可以说只是例外或理想化的情况。所以，对人类而言，测量现实情况中各种复杂图形大小的技术非常必要。
日本小学的家政课会讲授乌冬面、土豆块2等简易料理的烹饪方法。之所以特地在学校中讲授这些内容，是因为这些都是烹饪中的基础方法。实际上我们自己做菜时，多会在商店中购买成品的乌冬面，也基本不会频繁烹制土豆块。但是，如果掌握了这些基础烹饪方法的话，就能够烹制出更多复杂的菜品。例如，乌冬面的烹饪方法可以运用到面包、比萨或者意大利面中，从土豆块中学到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸饼中。
如果把在小学初中学的长方形、圆形的知识比作乌冬面、土豆块，那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用性料理。多亏有了积分法，人类才能够计算各种图形的面积和体积。使用积分，无论是多么奇怪的形状，只要下功夫就能够计算出结果，这真是巨大的进步。
将思考应用于实际，用自己的力量去推导面积、体积，这才是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义。
所有图形都与长方形相通
图形的种类纷繁多样，其中面积计算最为简单的就是“长方形”了。
说到这里，大家是不是想起了小学时初学面积计算的情景？在图形面积计算中，三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形都是放到长方形之后学习。长方形的面积仅用“长×宽”就可以计算，可以说是最简单、朴素的图形。顺便提一下，在数学世界中，正方形被看作是“一种特殊的长方形”。
掌握长方形面积的计算方法后，就可以将其应用到三角形的面积计算中。反过来说，如果不知道长方形面积的计算方法，也就无法计算三角形的面积。
这是因为，三角形的面积可以看作是“以三角形的一条底边为边长、该边上的高为另一边的长方形面积的一半”。根据图2可知，三角形的面积正好是对应长方形面积的一半，也就是说“三角形的面积=底×高÷2”。
那平行四边形是什么情况呢？平行四边形可以看作是两个以平行四边形的边为底边的三角形的组合。
梯形的情况又如何呢？梯形可以看作平行四边形的一半。如图4所示，两个相同的梯形并列组合形成了平行四边形。因此，梯形的面积也是以长方形为基础计算的，为“（上底+下底）×高÷2”。
从三角形到平行四边形，再到梯形，虽然这三个图形看上去没什么直接关联，但它们的面积公式都是以长方形面积为基础推导出来的。(未完待续)
2、高等数学微积分快速入门，十分钟了解微积分的来龙去脉
微积分是现代科学的基础，学习微积分是一个现代人的必修课。
数学在于给出有效的计算方法，并且要解释它为什么有效。比如已知一个直角三角形的两个直角边的长度，我们可以依据勾股定理（勾股定理的发现是长期经验积累的一次创新），计算出斜边的长度，同时，还需要以可理解的方式证明勾股定理，给出其适用的条件。这样，我们的认知才是圆满的，我们看到的世界才不是现象或概念的混合，而是有层次有秩序的运行着的。
图1 勾股定理的证明
微积分的发明也是这样，对于求运动速度，求曲线切线，求曲线长度、所围面积、立体体积，求极大值和极小值等问题，我们可以依据求微分，求导数，求积分的原则进行计算。但要论证它为什么是正确的，就不如勾股定理那样的容易了。
我们以求运动速度为例1，求曲线所围面积为例2来简要介绍微积分的方法。
这便是微分（导数即微分之比）的方法，它有近似和说不清楚的地方，但这种方法是非常有效的：我们可以用这种方法计算曲线的切线斜率（这时只需要把例1中的函数s=s(t)看作一条普通的曲线，计算出来的v(t)即为切线斜率）；我们令v(t)=0，还可以找到曲线上的切线正好水平的位置，它们很可能是极值点；我们令v(t)等于一个特定的数值k，便可以找到斜率为的直线与曲线相切的位置，等等。总之，这种方法在计算上是非常行之有效的，解决了大量的科学问题和工程问题。
这便是积分的方法，它有近似和说不清楚的地方，但这种方法是非常有效的：我们可以用这种方法计算任意图形面积（如例2），计算任意立体体积（只需把例2中的函数v=v(t)看作薄片的面积，每一个薄片体积为v(t)dt，物体体积等于所有薄片体积的积分），计算行星运动曲线的长度（只需把例2 中的v(t)dt看作曲线上一小段弧的长度，把积分区间变为曲线的起点和终点），等等。总之，这种方法在计算上是非常行之有效的，解决了大量的科学问题和工程问题。
图4 牛顿
微分和积分正好是一个相反的运算，这一点通过例1和例2的计算过程可以清楚地看到。同时，在积分计算中，o 的寻找是一个难点，它也不再是无关紧要的，而正好是连接微分和积分的桥梁。o是在微分运算的过程中产生的，这是它的来源，积分之所以比较困难，正在于我们为了简便，在微分和导数运算中忽略了o，当然，它本身就是“小到忽略不计”的量。
图5 莱布尼茨
也正是这“小到忽略不计”的量，引发了历史上的第二次数学危机。面对如此高明的微积分方法，人们却没有办法给予解释，人们不知道微分和是什么，它们究竟是不是0。倘若不是0，则o便无法忽略，不管多么的小，它始终是一个甩不掉的尾巴，计算结果总是近似的相等的，然而应用微积分方法计算的结果却是精确的；倘若是0，则微分之比变成了0除以0，这与代数学中的0不能做分母产生矛盾，同时还会推导出无数荒谬的结论。这个问题一直困扰着人们。
第二次数学危机的根本问题可以概括为，微分是什么？
(未完待续)
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