如何用定积分求三角形面积（微积分求三角形面积）？如果你对这个不了解，来看看！
熬了几个通宵，终于把初中到大学学习算法的必备数学知识梳理完3，下面是全栈深入给大家的分享，一起来看看。
如何用定积分求三角形面积
作者简介：阿里巴巴高级技术专家，一直关注前端和机器学习领域相关技术，在知乎和微信公众号的“全栈深入”分享深度硬核技术文章。
由于头条号字数限制，前两篇文章《熬了几个通宵，终于把初中到大学学习算法的必备数学知识梳理完1》发了两次还没有发布完，这是第3部分内容，主要介绍微积分、矩阵等知识。大家记得关注、点赞、收藏支持一下哈！
由于文章较长，文章将分成了3个部分，本文是第3部分，第1，2部分内容可以点击下方链接，也可以参考文章末尾的 了解更多 直达。
第1部分第2部分第3部分（本文）本文是讲解从初中、高中、大学里面用到的数学知识，这些数学知识是计算机算法、机器学习等领域学习的基础。数学是很多行业领域的基础学科，很多领域底层都是数学。
第1部分：介绍了初中、高中里面学到的数学概念、多项式、平方差、平方和、因式分解、一元二次方程、集合、充要条件、函数、幂函数、指数函数等知识。
第2部分：介绍对数函数、反函数、三角函数、数列、导数等知识。
第3部分（本文）：将介绍高等数学中定积分、微积分、矩阵等相关知识。
-------------我是分隔线，接上一篇-------------
15、高等数学 - 定积分1、近似替代法求曲面的面积及加速行汽车的距离。
练习1
阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线y=f(x)的一段。我们把由直线x=a, x=b(a≠b), y=0和曲线 y=f(x) 所围成的图形称为曲边梯形. 当 y= x^2, x=1, y=0时，如何计算这个曲边梯形的面积呢?
求解步骤
1）分割：将区间[0, 1]分割成n个小区间，用表达式计算每个小区间的长度△x=i/n - (i-1)/n = 1/n，面积△S ，总面积 .
2）近似替代：当n很大，△x很小时，可认为每个区间f(x)=x^2值变化很小，近似等于一个常数（可认为是左端点处的函数值y=x^2）。即用直线段近似地代替小曲边，近似可用小矩形面积代替曲边梯形面积。得到面积△S的表达式 其中i为第i个小区间,。
3）求和：通过将n段的每个△S进行相加，得到一个表达式，进行代数运算后得到总面积S一个简单的表达式：
。
4）取极限：当n取无穷大时，即△x趋向于0时，得到总面S的会上为1/3
练习2
汽车以速度v作匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程为s=vt. 如果汽车作变速直线运动,在时刻t的速度为 (t的单位:h,v的单位:km/h), 那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?
求解步骤：参照上个练习，得到最终答案为：
2、定积分
由近似替代法求曲面的面积及加速行汽车的距离都可归结为求这种 特定形式和的极限。将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点(i=1,2,…,n)作和式为：
当时，该和式无限接近某个常数，该常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分(definite integral)，记作：
其中：
- a和b：积分上限和积分下限
- 区间[a,b]：积分区间
- 函数f(x)：被积函数
- x：积分变量
- f(x)dx：被积式
上面曲边梯形面积定积分表示：
几何意义：表示由直线x=a, x=b （a!=b），y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。
上面汽车路径定积分表示：
练习
1）计算 的值
解题步骤：
- 分割：区间[0,1]等分为n个区间, [i-1/n, i/n] （i=1,2,3..n）,每个小区间长度△x=i/n - (i-1)/n = 1/n
- 近似代替、作和：
- 取极限：
定积分性质：
其中k为常数 其中 15、高等数学 - 微积分1、微积分
用定积分的定义计算的值比较麻烦，导数和定积分存在联系。
一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t). 由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=y'(t). 设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s,你能分别用y(t),v(t)表示s吗?
用定积分的定义计算 的值比较麻烦，导数和定积分存在联系。
解：
1）物体的位移s是函数y=y(t)在t=b处与t=a处的函数值之差，即 s=y(b)-y(a)
2) 用定积分求位移：
- 分割
- 近似替代、求和
- 求极限
得到
n越大，△t越小，区间[a,b]划分的越细， 与s的近似程度就越好。
3) 由定积分得到
4) 由1），2）结果得到
5) 微积分基本定理
fundamental theorem of calculus,（牛顿-莱布尼兹公式, Newton-Leibniz Formula）.
一般地如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，且F'(x) = f(x)，则
，则F(b)-F(a)常记作 ，即：
计算定积分的关键是找到满足 的函数F(x)，通常可运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)
> 练习
1、计算下列定积分
1)
2)
3)
4)
5)
> 解
1) 因为 (lnx)' = 1/x，所以
2) 因为 , 所以
3)
三角函数的定积分等于三角函数的面积
4)
5)
参考：基本初等函数的求导公式
若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0若f(x)=x(n∈Q),则f'(x)=nx^(n-1)若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx若f(x)=cosx,则f'(x)=-sinx若;若;若f(x)=loga x,则f'(x)=1 / (xlna)若f(x)=lnx,则f'(x)=1/x2、定积分的简单应用1、计算曲线所围图形的面积S 解：
1) 画出草图
2) 解方程
得到的解为交点的横坐标为x=0, x=1
3) 求图形面积
S = S曲边形梯形OABC - S曲边形梯形OABD =
2、计算直线y=x-4, 曲线所围图形的面积S
1) 画出草图
2) 解方程
直线与曲线交点的坐标为(8,4)，直线与x轴交点坐标为(4,0)
3) 求图形面积
3、变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t) （v(t)≥0）在时间区间[a,b]上的定积分
辆汽车的速度-时间曲线如图所示,求汽车在这1min行驶的路程.
解：
1、矩阵与向量1) 矩阵矩阵是矩形的数组。
矩阵的表示：A=(a_ij)，其中i=1,2,3 . j=1,2,3矩阵元素表示：第i行，第j列的元素通常表示为：a_ij。用大写字母表示矩阵，用小写字母表示矩阵中的元素。矩阵集合：用R ^{mxn}表示所有元素为实数的m x n矩阵集合。矩阵来自集合表示：元素来自集合S的m x n 矩阵的集合可用S^{m x n}表示。2) 矩阵转置
交换矩阵的行和列，获得的矩阵是矩阵A的转置
3) 向量向量是一维数组。长度为n的向量称为n向量，用xi表示向量中第i个元素，其中i=1,2,3..n。将向量的标准形式定义为列向量，是n x 1的矩阵，转置后是行向量。
单位向量：除第i个元素为1，其他均为0的向量。
2、各种矩阵零矩阵：所有元素均为0的矩阵，常表示为0。方阵：正方形 n x n的矩阵对角矩阵：一个矩阵中对于任意，i≠j，均有aij=0aij=0。即非对角元素均为0矩阵或向量中的元素是实数、复数、或整数取模某素数等数系中的数。
矩阵加法如果矩阵A=(aij),B=(bij)是m x n矩阵，两者的矩阵和是对应位置上的元素进行相加，得到的和C=(cij)=A+BC=(cij)=A+B也是m x n的矩阵。即cij=aij+bij零矩阵相加是矩阵加法的单位元，A+0=0+A=A
矩阵数乘标量倍数：λA=(λaij)是A的标量倍数。通过将λλ分别乘以每个元素。−1⋅A=−A−1⋅A=−A矩阵减法A + (-B) = A - BA + (-A) = -A + A = 0两个相容的矩阵A和B，即A的列数与B的行数相等才能相乘。- 单位矩阵相乘：
- 零矩阵相相乘：A0=0
- 矩阵乘法结合率：A(BC)=(AB)C
- 矩阵乘法对加法满足分配律：A(B+C)=AB+AC。例外：n>1，n x n的矩阵乘法不满足交换律。如下：
- 矩阵向量乘积：可把向量看作n x 1的矩阵相乘。
- 内积：如果两个向量相乘，则 是一个1x1的矩阵，称之为x与y的内积。
- 外积：矩阵 是n x n的矩阵Z，称为x与y的外积。
- 欧几里德范式：定义 n 向量x的范式 ，x的范式是其在n维欧几里德空间内的长度。
5、矩阵的基本性质
1）矩阵的逆
定义 n x n的矩阵A的逆 为满足 的n x n矩阵(即为原矩阵的倒数）。许多非零矩阵没有逆矩阵。
如求
- 可逆矩阵：若矩阵可逆则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，如果存在则其是唯一的。
- 不可逆矩阵：没有逆的矩阵为不可逆的或奇异的。
- 逆操作与转置操作可交换顺序：
2）矩阵的线性相关和无关
- 线性相关：若存在不全为零的相关系数 c1,c2, ..,cn，使得 ，则称向量 是线性相关的。
- 线性无关：不是线性相关的。单位矩阵的列向量是线性无关的。
3）矩阵的秩
对于非零 m x n的矩阵A：
- 列秩：最大线性无关`列`集合的大小
- 行秩：最大线性无关`行`集合的大小
任意矩阵A所共有的一个基本性质是A的行秩等于其列秩。简称为A的迭。
秩：非零m x n矩阵A， m x r的矩阵B，r x n的矩阵C，使得 A = BC时最小数值r是A的秩。
矩阵的秩
- 矩阵的秩是[0, min(m, n)]内的整数
- 零矩阵的秩是0，而n x n单位矩阵的秩是n
满秩
- 如果 n x n方阵的秩是n，则它是满秩的。
- 如果 m x n矩阵的秩是n，则它是列满秩的。
定理
- 定理1：一个方阵是满秩的，当且仅当该方阵是非奇异的。
- 定理2：一个矩阵A是列满秩的，当且仅当该矩阵不存在空向量
- 推论3：一个方阵是奇异的，当且仅当它有空向量
4）矩阵的行列式
n x n(n>1)矩阵A的第i行j列子矩阵，是一个删除A中i行j列后得到的(n-1)x(n-1)矩阵 。利用子矩阵递归定义该矩阵的行列式。
为元素 的代数余子式。
行列式性质
定理4：
- 如果矩阵A中某行或某列为0，则det(A)=0
- 当将矩阵A的任意一行（或列）的每个元素乘以 后，A的行列式乘以
- 当将矩阵A的任意一行（或列）的每个元素加到另一行（或列）的元素上，则A的行列式不变
- 矩阵A的行列式与其转置 的行列式相等
- 当交换A的任意两行（或两列）时，行列式改变正负号
定理5：n x n 矩阵A是奇异的，当且仅当dt(A)=0。
5）正定矩阵
如果n x n矩阵A满足对于所有n向量 ，有 ，则称A是正定的。
对于任意列满秩的矩阵A，矩阵 是正定的。
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到此，基本内容介绍完了，要想看完整版本可到"全栈深入"公众号或知乎中查看。后面将会补充介绍其他中学课本中没有的其它数学知识，主要围绕线性代数、高等数学、概率等三个部分。关注我，将会持续给大家更多深度的文章。
第1部分第2部分第3部分（本文）作者简介：阿里巴巴高级技术专家，一直关注前端和机器学习领域相关技术，在知乎和微信公众号的“全栈深入”分享深度硬核技术文章。关注我，持续给你带来技术干货。
微积分求三角形面积
今天我们要讨论一个许多人都害怕的主题。我说的是微积分。虽然一开始听到导数和积分可能有点令人震惊，但事实是，当你理解它时，它简直太神奇了。如果您不熟悉微积分或数学，请不要担心，我们将以概念的方式进行解释。
让我们开始考虑一个圆。我们了解到圆的面积是使用公式2 * PI * r计算的，其中r是圆的半径。但这是从哪里来的呢？让我们把我们的圈子分成许多环，像这样：
为此，我们将环的厚度称为dr。我们可以把环想象成盘绕的线。如果我们展开它，我们会看到图形类似于一个矩形，所以我们将这个环近似为一个矩形。也就是说，我们的厚度将是矩形高度，而2 * PI * r（cirfumfere 的公式）是矩形宽度。所以我们矩形近似的面积是2 * PI * r * dr。但是随着dr变得越来越小（这意味着当我们将圆切成越来越小的环时），近似值将变得越来越错误。
请注意，我们将圆划分为许多环，因此可以得出圆的面积是所有环的面积之和的结论是合乎逻辑的。一种可视化的方法是绘制从 0 到 r 的图形，其中的列代表我们的环。
如果我们为dr选择越来越小的值，我们的矩形面积就会越来越接近图表下的精确面积。图下部分是一个三角形，底为1，高为2 * PI * 1 。所以面积，即(base * height) / 2 是 PI *1² 。或者，如果我们原来的圆的半径是其他值 R，面积 = 1/2 * R * 2 * PI * R = PI * R²
积分假设我们有以下函数 f(t) = t³ 的图形：
f(t) = t³ 的图表
现在，我们将左端点设置在原点 (0)，但我们认为右端点（我们称之为 x）会发生变化。当我们考虑端点 x 的变化时，我们如何描述 f(t) 图下的面积？
我们通过以下方式进行：
在数学中，积分是一个概念，用于计算曲线下的面积或函数在一个区间内的总累加值。考虑一个线性函数，例如f(x) = 2。此函数以图形方式表示如下：
f(x) = 2
要计算我们函数下的面积，我们只需计算该区间上函数的高度和区间本身的宽度所形成的矩形的面积。
但是，我们可能会处理更复杂的函数，例如多项式。想象一个像下面这样的函数：
多项式函数图 多项式函数图
在那种情况下，不可能像我们以前那样使用简单的几何来计算面积。相反，我们使用积分来近似曲线下的面积。积分涉及将曲线下的区域划分为无数个宽度无限小的小矩形，然后将所有矩形的面积相加。结果大约是曲线下的总面积，就像我们使用圆环表示的那样。这是整合理论的基础。
导数导数通常被定义为“瞬时变化率”，但请仔细考虑一下这个定义。只有当我们衡量不同的时间点时，事情才会改变。想一想一辆行驶中的汽车：如果我告诉你我们的汽车以每小时 60 公里的速度行驶，并问我们的汽车在瞬间i 的速度是多少，会怎样？
你无法测量汽车在某一瞬间的速度，因为我们没有单独的时间点，所以没有改变的余地。速度本身就是在给定时间内行进的距离，所以这是一个悖论。但是我们有速度计对吗？当你开车时，汽车会在给定时刻显示你的速度……或者这就是它看起来正在发生的事情。实际上，汽车系统在非常短的时间内计算速度。
这意味着如果我们选择少量的时间dt，我们可以计算运行中的上升：
这里提出的想法几乎就是导数。虽然汽车会选择像 0.001 秒这样的小数值来计算速度，但在数学上，导数并不是特定选择dt的这个比率。当dt 的选择接近 0 时，它是该比率接近的任何值。
考虑ds/dt 的另一种方法是通过图中两点的线的斜率。导数等于在单个点处与图形相切的直线的斜率。
A点上的切线
例如，让我们考虑一个线性函数，例如f(x) = 2x + 2 。了解了导数的概念，我们可以很容易地计算函数的导数。此函数的图形如下所示：
f(x) = 2x + 2 的图形
x的值无关紧要，直线的斜率始终为 2（因为在形式为f(x) = ax + b的线性方程中，a 表示决定直线斜率的线性系数。在我们的案例，它是一个）。常数值的导数，比如我们的b是0，因为常数值没有变化。也就是说，线性函数的导数是它的线性系数a。在我们的例子中，请注意，每当我们将 X 增加 1 个单位时，函数的值就会增加 2 个单位，因此变化率始终相同。
有很多技术可以计算其他类型函数的导数，例如幂、指数、对数等。我不会在本文中介绍这些内容，因为它主要是概念性的。
导数的正式定义是，y相对于x的导数定义为随着x0和x1之间的距离越来越小， y的变化超过x的变化。[来源]
这是导数的数学定义，它是 f(x) 图形在该点的切线的斜率，它衡量 f(x) 的值随着 x 的微小变化而变化的速度。
微积分基本定理我们已经完成了本文中的所有内容，现在是时候将它们拼接在一起并理解曲线斜率与其下方面积之间的关系，即微积分基本定理。它指出积分（integrals）和微分（derivatives）是彼此的逆运算。
它指出对于函数f，可以将反导数作为f在具有可变上限的区间上的积分来获得。
快速定义：函数f的反导数（也称为不定积分）是一个可微函数F，其导数等于原函数f。（F' = f）。
基本上，如果函数f(x)在区间I上是连续的，并且如果F(x)是f(x)在该区间I上的任何反导数，则f(x)的不定积分是F(x) + 积分持续的。换句话说，积分取消微分并将原始函数恢复到任意常数。这就是说它们是彼此的逆运算。
该定理还指出， f在固定区间内的积分等于区间两端之间任何反导数F的变化。它简化了定积分的计算。
简直太神奇了。