关于拿破仑定理是初中课程吗,拿破仑定理这个很多人还不知道,今天菲菲来为大家解答以上的问题,现在让我们一起来看看吧!
1、拿破仑定理: 切蜛BC中,向三边分别向外侧作正三角形,然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形. 这一定理可以等价描述为:若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形,则它们的顶点构成一个等边三角形. 下面介绍拿破仑定理的两种推广: 定理1 以△ABC的三边为底边各向形外作等腰三角形BCD。
2、CAE和ABF,这三个等腰三角形的底角各为α,β和γ。
3、且α+β+γ=90°,则 ∠FDE=90°-α,∠DEF=90°-β。
4、∠EFD=90°-γ. 证明 为方便计,把△ABC的三内角简记为A、B、C.因DC=DB,则可将△DCE绕D点旋转∠BDC至△DBG位置。
5、连FG. ∵∠FBG=360°-∠DBF-∠DBG =360°- (α+β+γ) - (α+C+β) =180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ =A+β+γ=∠FAE. 又BG=CE=AE,FB=FA, ∴△FBG≌△FAE。
6、FG=FE. 从而△DGF≌△DEF,∠FDG=∠FDE, 同理∠DEF=90°-β。
7、∠EFD=90°-γ. 定理2.在△ABC的外侧作三角形△BCP、△CAQ和△ABR,使∠PBC=∠QAC=α,∠PCB=∠QCA=β。
8、∠RAB=∠RBA=γ,且α+β+γ=90°,则RQ=RP。
9、且∠QRP=2α. 证明 RB绕R逆时针旋转2α至RG,连BG、AG、QG. ∵∠GBA=∠GBR-γ =90°-α-γ =β 又RA=RB=RG, 即R为△ABG的外心。
10、 ∴△ABG∽△ACQ∽△BCP, 又∠BAC=∠GAQ, 又∠RGQ=∠AGQ+∠AGR =∠ABC+α+γ=∠RBP。
11、 ∴∠RGQ≌△RBP. ∴RQ=RP. 又因∠GRQ=∠BRP, ∴∠QRP=∠GRB=2α.。
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