一、什么是拓扑关系？什么是拓扑结构？
拓扑关系（ topological relation），指满足拓扑几何学原理的各空间数据间的相互关系。即用结点、弧段和多边形所表示的实体之间的邻接、关联、包含和连通关系。
计算机网络拓扑结构是指网络中各个站点相互连接的形式，在局域网中明确一点讲就是文件服务器、工作站和电缆等的连接形式。现在最主要的拓扑结构有总线型拓扑、星形拓扑、环形拓扑、树形拓扑（由总线型演变而来）以及它们的混合型。
二、什么是拓扑空间？
拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。在微积分学中，实一维欧几里得空间R′上的开集具有性质： ①任意个开集的并是开集 。 拓扑空间 ②有限个开集的交是开集。 ③R′及空集是开集。对任一非空集合X，若X的一个子集族J 满足： ①J中元的任意并在J中。 ②J中元的有限交在J中。 ③X、空集在J中，则称J是X的一个拓扑，J中的元称为开集，X连同拓扑J称为一个拓扑空间，记为（X，J）。 注意到如能在X中给出度量则自然在X中给出拓扑（由度量决定的开集）。 于是度量空间都是拓扑空间。但不是所有拓扑空间都可定义度量，使得该度量下的开集族与原拓扑空间的开集族一致；详见度量化定理。对任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足X－A是开集，则称X是闭集。 拓扑空间 设X是非空集合，令J0＝｛X，｝，称（X，J0）为平庸拓扑空间，J0为平庸拓扑。令J1＝｛A｜AÌX｝，称（X，J1）为离散拓扑空间。在离散拓扑空间中任意子集均是开集。对实数集R1，令J＝｛BÌR1｜"x∈G，∈ε＞0，使（x－ε，x＋ε）ÌG｝，则（R1，J）就是一维欧几里得空间。类似地可定义n维欧几里得空间Rn。 设X是拓扑空间，如果X可写为非空开集的分离并，则X称为连通空间；如果对X中任意两点 ，存在X中的道路相连接，则称X为道路连通空间 ；如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ，则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间 ；如果X中任意两点都存在不相交的邻域 ，则称X是豪斯多夫空间（或T2空间）。上面所提连通性，道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。连通空间上的实值连续函数具有介值性，即若f∶X→R1连续，X是连通空间，r∈（f（x1），f（x2），则存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）＝r。紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。紧空间上的连续函数一致连续。若AÌRn，则A为紧，当且仅当A是有界闭集。 拓扑空间 称拓扑空间为Hausdorff空间，如果空间中任意两点有不交的邻域。注意有些拓扑空间不是Hausdorff空间，如定义了平凡拓扑的空间，连续函数芽集等。欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近结构便成为一个拓扑空间。构造邻近结构有多种方法，常用的是指定开集的方法。给定集x,它的一个子集族J称为x上的一个拓扑结构,简称拓扑,是指J满足下列三个条件： 相关书籍 ①空集和x本身是J的元; ②J内任意有限多个元的交仍是J的元； ③J内任意多个元的并仍是J的元。 集x连同它上面的一个拓扑J,构成一个拓扑空间,简称空间。J的元叫x的开集,开集的补集叫闭集。任何集x上总可以赋予拓扑。例如，x的一切子集组成的族就是x上的一个拓扑, 叫离散拓扑，对应的空间叫离散空间;另一个拓扑仅由空集与x自己所组成,叫平凡拓扑。如果集x上定义了一个度量或距离函数，那么x内可以用一些开球的并表示的一切子集组成x上的一个拓扑，叫度量拓扑。一切开球组成的集族称为这个拓扑的一个基。一般地，拓扑J的一个子族B称为J的一个基，是指 J的每个元可表为B的一些元的并。这时,也说拓扑J是由B生成的。拓扑J的一个子族φ称为J的一个子基是指φ中元的所有有限交构成的集族是J的一个基。设A是拓扑空间x的任一子集。规定A的开集是x的开集与A的交，于是A自己构成一个拓扑空间,称为x的子空间。积空间 任意两个集 A1和 A2的笛卡儿积定义为集。两个拓扑空间x1与x2的笛卡儿积x1×x2上可以引入乘积拓扑如下:其基中的元是形如 A1×A2的集, 这里 Ai是 xi的任意开集,i=1,2。这样得到的拓扑空间称为空间x1与x2的积空间。x1与x2叫因子空间。积空间可以推广到任意多个因子的情况。 任意集族{Aα}α∈I的笛卡儿积可类似地定义为集这里Aα是xα的任意开集，并且这些Aα(α∈I)中除有限多个外都等于xα。这样得到的拓扑空间称为空间族{xα}α∈I的积空间。 拓扑空间商空间 设x 是拓扑空间，将x 划分为两两不相交的子集, 把每个子集看作一个点, 就得到一个新的集H。H的每个点可以看作是由x 的某个相应子集中的点重叠而成。规定H的子集U是开集当且仅当U的一切元的并是x的开集。这样，H便构成一个拓扑空间，叫x的商空间。例如,让x表平面上的长方形带ABCDEF,并作为数平面R2的子空间。先把带扭转180°,再把FD边与CA边粘合起来，这样得到的图形叫麦比乌斯带。这时点A与D重合，C与F、B与E也重合,等等。如果将x划分为下列两两不相交的子集：｛A,D｝,｛C,F｝,｛B,E｝,…以及所有单点集｛p｝，这里p是x的不在两条竖直边上的点。所得的商空间就是麦比乌斯带。连续映射与同胚 设ƒ是空间x 到空间Y的映射，即对于x内每一点x,Y内有惟一一点y与它对应。这个y叫x在ƒ下的像,记为ƒ(x)；称ƒ是连续映射是指对Y的每个开集G,其逆像ƒ-1【G】={x∈x｜ƒ(x)∈G}是x的开集。如果x内任意两个不同的点有不同的像，就称ƒ是单射。如果Y内每一点必是x 内某一点的像，就称ƒ是满射。从空间x到Y的每个既单又满映射ƒ必有逆映射g,它是Y到x上的既单又满映射，这里g(y)=x当且仅当ƒ(x)=y。这时如果ƒ和g都连续，便称ƒ为同胚映射。两个拓扑空间称为同胚的,是指它们之间存在一个同胚映射。n维欧几里得空间Rn的任一开球作为子空间与Rn同胚。另一方面，1913年荷兰数学家L.E.J.布劳威尔证明了：当m不等于n时,Rm与Rn不同胚。第一与第二可数空间 拓扑空间称为第二可数的是指它的拓扑有一个可数基。Rn是第二可数空间，因为半径与球心坐标皆为有理数的一切开球组成Rn上拓扑的可数基。设A是空间x的任一子集。x的子集W 称为子集A的邻域是指存在开集U包含A且包含在W内。点x的邻域即子集{x}的邻域。由点x的一切邻域组成的集族Ux叫点的邻域系。Ux的子族Bx称为x的邻域基或局部基是指对于Ux的每个元U，Bx中相应地有元B,使B吇U。如果空间x 的每一点都有一个可数局部基，便称为第一可数空间。第二可数空间与度量空间都是第一可数空间。 相关书籍紧空间 拓扑空间x的子集族 U称为x 的覆盖是指x 可表为U的一切元的并。由开集组成的覆盖叫开覆盖。如果T2空间x的每个开覆盖有一个有限子族仍是x的覆盖，则x称为紧空间。n维欧几里得空间Rn中的有界闭集，即可以包含于某个球内的闭集，作为Rn的子空间是紧空间。但Rn本身不是紧空间。任意一族紧空间的积空间仍是紧空间。连续映射把紧空间映成紧空间，只要映成的空间是T2的。与一个度量空间同胚的拓扑空间叫可度量空间。1924年，苏联拓扑学家∏.C.乌雷松证明了：紧空间是可度量的当且仅当它是第二可数的。在第二可数或度量空间范围内，一个空间是紧的当且仅当它是列紧的，即是T2空间且它的每个点列有一个收敛子序列。仿紧空间 1944年由法国数学家J.迪厄多内提出的仿紧空间是紧空间的一种重要推广。空间内的一个子集族U称为局部有限的是指空间内每一点有一个邻域与U内至多有限多个元相交。设U、V是空间x的任二开覆盖,如果U的每个元是V的某个元的子集，则称U加细V或U是V的一个加细。一个T2空间称为仿紧空间是指对于它的每个开覆盖V，存在一个局部有限的开覆盖U加细V。紧空间和度量空间都是仿紧空间。连通空间 有一类简单的几何图形只由“一片”所组成，这就是连通空间的直观含义。拓扑空间称为连通空间是指它不能表示为两个不相交的不空开集的并。等价地，从它到由两个点组成的离散空间的每个连续函数是常值的，即每一点的像皆相同。Rn是连通空间。R1内的连通子空间恰好是区间，包括带一个或两个端点的或不带端点的，有限或无限的。每个紧连通空间称为连续统。编辑本段分离公理 主要有下面几条。T1分离公理 空间内任何两个不同的点都各有一个领域不含另一点。豪斯多夫分离公理 （T2分离公理) 空间内任何两个不同的点都各有邻域互不相交。正则分离公理 空间内每一点以及不含该点的任一闭集都各有邻域互不相交。全正则分离公理 对于空间x 内每一点x及不含x的任一闭集B，存在连续映射ƒ∶x→【0,1】，使得ƒ(x)=0且对B内每一点y，ƒ(y)=1。正规分离公理 空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。 满足T1分离公理的空间叫T1空间。满足T2分离公理的空间叫T2空间或豪斯多夫空间。一个T1空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间，全正则空间和正规空间。各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊T2空间崊T1空间。度量空间以及下述的紧空间和仿紧空间都是正规空间。
三、"拓扑"是什么东西?什么是"拓扑关系"？
简单的的说就是几何结构，是指网络中各个站点相互连接的形式，主要有总线型拓扑、星型拓扑、环形拓扑以及混合型拓扑。 拓扑学就是以空间几何的形式来表现事物内部的结构,原理,工作状况等. 比如你的计算机吧,学过搜索算法吧(广度优先(breath-first)和深度优先(depth-first,不知道中文译的对不对)算法).你在分析的时候不是把所有的状态画成一个树状表,然后来看一步步怎样查找的么.这就是运用拓扑逻辑的方法.当然,从这里你就可以看到,拓扑都在处理离散的状态. 说白了,系统逻辑流程图也是拓扑图. 听起很深奥,很玄,其实常常用到.
四、怎么理解拓扑和拓扑空间？
拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。
五、定义拓扑空间的意义？
它的意义是这是一种开拓自己的二维空间。这个空间里，会有一定的因子存在。
六、拓扑关系的作用或意义是何？
拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。
拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。
连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识。
七、什么是拓扑关系的表达方法？
拓扑关系是指满足拓扑几何学原理的各空间数据间的相互关系。即用结点、弧段和多边形所表示的实体之间的邻接、关联、包含和连通关系
八、什么是素描关系空间？
素描关系所指的三大关系：明暗关系，空间关系，结构关系。 亮部： 是物体受到光源直接照射的地方，也是整一个物体最亮的部分； 明暗交界线： 是其中最重要的组成部分，它的位置一般处于形体的大转折处，虽说叫明暗交界线，但是实际上不是线而是一个实实在在的面，它是表达对象体积感的最重要因素。 反光： 是指周围环境色给物体的暗部的反光，反光也是表现物体体积感的重要组成部分，有些同学会把反光画的过亮，这样会直接导致物体很“轻飘飘”压不住。 投影： 是指光线投射到物体后产生的影子，它的形状大多数以物体本身的形状来决定，同时也因光源的不同而产生不一样的变化，比如圆球体的投影肯定也圆形或椭圆形的，不会产生方形的投影效果来，而投影是圆形还是拉长的椭圆形就是光线决的。
九、什么是物理拓扑和逻辑拓扑？
代数拓扑在物理中的应用一般都很浅，大多数情况只是使用到概念层面，很少用到代数拓扑深刻的定理。常见的概念有同伦群，同调群和上同调群。在场论中，这三个概念有各自常用的使用语境。
同伦群
：常见于刻画规范场位形的拓扑结构，最常见的就是刻画球面、环面或者欧几里得空间上的矢量丛的拓扑。比如涡旋、瞬子的等价类对应 和的矢量丛等价类，分别用 和来刻画。纤维丛的同伦恰当序列也常用于计算一些比较难算的同伦群，比如的高维同伦群。又如上规范反常的存在性可以归结为“无穷维规范变换群的基本群是否平凡”。同调群
：同调群用得相对较少，用的时候也通常只用来表征目标流形有多少洞，或者对某些几何对象进行分类讨论。有了洞，就可以讨论非平凡的拓扑荷（拓扑通量）。比如的，就可以讨论磁单极子的整数磁通量，或者电荷慈磁荷量子化。利用奇异同调群与 Cech 上同调的关系，还可以用奇异同调群、Cech 上同调来分类流形上的线丛，或者更复杂的 gerbe（高级线丛）。Gerbe 在物理中出现在一般的 2d有 H-flux 的非线性 Sigma 模型，target space 受超对称数量要求具有 Bi-hermitian 结构，从而 target space 上定义了一个 gerbe。在2维拓扑非线性 Sigma 模型中，A-twist 的 BPS 位形是世界面到目标流形的全纯映射。由于世界面可能是任意的黎曼曲面，比如球面，因此就有各种不同的拓扑不等价的映射。刻画这些拓扑不等价的映射，就用映射所属同调类。上同调群
：物理中用得最多的代数拓扑对象。1）规范场中，刻画相应矢量丛的拓扑通常是会用示性类，这些示性类都是空间流形上的上同调类。比如计算欧拉示性数用欧拉类，瞬子数用陈特性，涡旋数用第一陈类。2）2维拓扑 Sigma 模型中，B-twist 和 A-twist BPS 算符代数对应到目标流形的 de Rham 上同调，或者，超对称算符，,变成外微分算子，Dolbeault 算符，BPS 算符的关联函数变成目标流形上的量子 interseciton number。Mirror symmetry 则是联系 Mirror-对偶的 Calabi-Yau 目标流形对应的 A-twist 和 B-twist 模型，两个目标流形有对调的上同调群。3）许多时候物理问题需要研究某些算符的上同调群。最常见就是超对称量子力学中超对称算符的上同调群，这个上同调群的生成元与系统的基态（即的调和态）一一对应。算符的 Witten index 定义为复形的欧拉示性数，是超对称物理中比较重要的数。指标定理
：作为重要的计算工具，指标定理也出现在不少物理问题中（当然本质上都是数学家早就熟知的数学问题）。1）比如计算某些带拓扑荷的规范场位形的模空间，包括涡旋，瞬子，Seiberg-Witten 解，拓扑弦中黎曼曲面的复结构模空间维度；2）计算各类反常，比如手征反常，规范反常使用 Dirac 算子的指标；3）有时某些算符的指标直接就是计算目标，比如 Witten index 4）有时需要计算算符的superdeterminant，可以找与之交换的微分算符 ，并通过计算的（等变）指标来获得的波色、费米本征谱之间的不完全抵消关系，然后写下superdeterminant十、GIS中建立拓扑关系的意义？
地图上的拓扑关系是指图形在保持连续状态下的变形（缩放、旋转、拉伸等）但图形关系不变的性质。空间数据的拓扑关系对数据处理和空间分析具有重要意义：
1、拓扑关系能清楚的反映实体之间的逻辑结构关系，它比几何坐标关系有更大的稳定性，不随投影变换而变化。
2、利用拓扑关系有利于空间要素的查询，例如某条铁路通过哪些地区，某县与哪些县邻接。
3、可以根据拓扑关系重建地理实体，例如根据弧段构建多边形，实现道路的选取，进行最佳路径的选择等。