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重新思考问题和寻找规律，指引牛顿找到了曲线和无穷和之间的联系。
作者：Steven Strogarz
编译：冶无情
审核：暮大河
Isaac Newton（艾萨克·牛顿）并不以慷慨大方著称，并且他对对手的蔑视也堪称传奇。但他在一封给他的竞争对手Gottfried Leibniz（戈特弗里德莱布尼茨）的信中—现在被称为后书信（Epistola Posterior），牛顿表现出怀旧和近乎友好的态度。在信中，他讲述了他学生时代的一个故事，当时他刚刚开始学习数学。他讲述了他是如何通过猜测和检查的过程，将曲线下的面积与无限和等同起来的重大发现。他在信中的推理非常迷人且易于理解，它让我想起了小孩子喜欢玩的看数字猜规律游戏。
这一切都始于年轻的牛顿阅读John Wallis（约翰·沃利斯）的《无限算术》（Arithmetica Infinitorum），这是一部17世纪数学的开创性著作。沃利斯使用了一种新颖的归纳方法来确定π的值，而牛顿想设计类似的方法。他从寻找可调宽度x的“圆形段”面积问题开始。曲线定义为:
即单位圆在水平轴从0到x之上的区域。这里x可以是从0到1的任意数字，其中1是圆的半径。牛顿很清楚单位圆的面积是π，所以当x = 1时，曲线下的面积为单位圆的四分之一，即π/4. 但对于其他x值，我们一无所知。
如果牛顿能找到一种方法来确定每个可能值x下的曲线面积，这可能会给他提供一种前所未有的逼近π的方法，这原本是他的宏大计划。但在此过程中，他发现了更好的事情：一种用无限多由x的次幂构成的项，来替换复杂曲线的方法。
牛顿的第一步是通过类比推理。他没有直接针对圆形线段的面积，而是研究了由以下曲线界定的类似线段的面积：
牛顿知道这些曲线在整数次幂下的面积（例如0/2=0, 2/2=1）会更容易计算，因为整数次幂在代数形式上会更简单，例如，
相似的有，
并且
但是对于圆的方程没有这样的简化:
对于其他具有半次幂的曲线也是同样的。在牛顿那时，没有人知道如何求出它们区域下的面积。幸运的是，具有整数幂的曲线下区域的面积是可求的。例如取曲线y₄=1-2x²+x⁴，当时有一个众所周知的法则让牛顿（和其他任何人）对于此类函数快速求出其面积：对于任何整数幂n≥0，曲线y=xⁿ，从0到x区域的面积为xⁿ⁺¹/(n+1)（沃利斯-Wallis用他的归纳法猜到了这条法则，而费马-Pierre de Fermat确凿地证明了这一点）。有了这条规则，牛顿知道曲线y₄下的面积为
同样的法则允许他求出在上面列出的曲线中，具有整数幂的曲线面积。让我们把曲线yₙ下的面积记为Aₙ，其中n=0,1,2...使用上述法则，得：
诸如此类。牛顿的初步想法是希望能基于其他式子的表达式填补空白，进而猜到A₁（即圆形部分未知区域）的表达式。有一件事立刻可以看出来：每一个Aₙ都是从x开始的。这暗示我们或许可以像这样修改公式：
然后，为了填补下一批的空白，牛顿看了看带有x³的这一项。有了点经验，我们可以看到，甚至A₀也有三次项，因为我们可以将其重写为A₀=x-0/3 x³正如牛顿向莱布尼茨解释的那样，他观察到“第二项是0/3 x³,1/3 x³,2/3 x³,3/3 x³等等，是等差数列”（他指的是分子中的0、1、2、3）。他怀疑这个等差数列也可以拓展到非整数次幂的表达式中，牛顿猜测整个序列，无论是已知的还是未知的，都应该是差一个1/2(如0,1/2,1,3/2,2,5/2,3…)。“因此，他感兴趣但仍然未知的A₁, A₃, A₅的前两项”—“应当分别是：
因此，这个规律提示了牛顿：A₁应该有着下列形式：
这是一个好的开始，但牛顿还需要找到更多的规律。当他寻找其他规律时，牛顿注意到方程中的分母总是递增的奇数。例如，A₆中，其分母中有1、3、5和7。A₄，A₂也有着相同简单的规律。这种规律显然对于所有式子的所有分母都成立。
剩下的就是在分子中找到一个规律。牛顿观察A₂, A₄和A₆，又发现了一些东西。在A₂=x-1/3 x³中，他看到了一个1乘以x 和另一个项1/3 x³（暂时忽略它的负号）。在A₄=x-2/3 x³+1/5 x⁵中，他注意到了这个式子的分子为：1, 2, 1。而在A₆=x-3/3 x³+3/5 x⁵-1/7 x⁷他注意到这个式子的分子为：1, 3, 3, 1。这些数字对于任何研究过帕斯卡三角形的人都应该很熟悉，帕斯卡三角形是顶端为1的三角形数字排列，最简单得到帕斯卡三角形的方法是将上面的数字相加。
牛顿没有用帕斯卡三角形，而是将这些分子作为“数字11的幂”。例如，11²=121,这是帕斯卡三角形中的第二行，11³=1331,这是第三行。如今，这些数字也被称为二项式系数。当你扩展二项式的次幂时，例如(a + b)，就会出现：
有了这个规律，牛顿现在掌握了一种写出A₂, A₄和A₆的简单方法，甚至包括所有下标为偶数的A方法。接下来，为了将他的结果推广到半幂和奇数下标（然后最后得到他想要的A₁)，牛顿需要将帕斯卡三角形推广到一个奇妙的新状态：在两行之间，添加一个新行。为了进行推广，他推导出了帕斯卡三角形中任意给定行为m的二项式系数的一般公式，然后大胆地令m=0.5。令人惊讶的是，它奏效了。这也就给出了他想要的A₁的序列。用牛顿自己的话来说，这里是他对莱布尼茨在论证的这个问题时归纳出的规律的一个总结：
我开始反思，分母1、3、5、7等等，是等差数列，所以只有分子的数值系数还需要研究。但在我们已经知道的一些地方，这些是数字 11 的幂数……即第一个“1”；然后是'1, 1'；第三个是'1、2、1'；第四个是'1, 3, 3, 1'; 第五个是'1, 4, 6, 4, 1'等，所以我开始研究如何从前两个给定的数字推导出该序列中的剩余数字，我发现，只要在下面这样的式子的每一项分子上添加一个m，剩余序列的未知部分，也就是该级数的连续乘法产生的项即可得出：
因此我在序列之间插入序列的时候应用了这一规律，因为对于圆，第二项是1/3(1/2x³), 然后令m=0.5，产生的项为：
一直到无穷大。从这里我开始明白我想要的圆形部分的面积是:
最后，通过带入x =1, 牛顿可以获得π/4的无限和。这是一个重要的发现，但事实证明，有更好的方法可以通过无限和来近似π，正如牛顿本人在最初尝试这种类型的无限和（现在称为幂级数）后很快发现的那样。最终他计算出圆周率的前 15 位数字。
回到圆弧的问题，牛顿意识到圆本身的方程（不仅仅是它下面的区域）也可以用幂级数来表示。他所要做的就是省略分母并调整x的幂级数，使得分子显示中 1。因此他被引导到：
为了检验这个结果是否有意义，牛顿把它乘以了它自己：“它变成了1-x²，剩余的项随着级数的延续到无穷而消失。”
“If a problem is too hard, change it.
If it seems too specific, generalize it.”
不用那么在意于细节，我们在这里学到了一些解决问题的方法。如果一个问题太难了，那就改变这个问题。如果它看起来太具体，那就抽象概括它。这两者牛顿都做到了，并得到了比他最初寻求的更重要并且更有力的结果。
牛顿并没有执着于着四分之一圆。他考虑着一个更一般的形状，一个宽度为任意值x的圆形部分. 而不是只盯着x=1，他允许x从0到1变化。这揭示了他的数列中系数的二项式特征——帕斯卡三角形中数字的意外出现及其概括——这让牛顿看到了沃利斯和其他人错过的规律。看到这些规律后，牛顿获得了更广泛和更普遍地发展幂级数理论所需的洞察力。
在他后来的工作中，牛顿的幂级数给了他一把用于微积分的“瑞士军刀”。有了它们，他可以做积分，求代数方程的根，计算正弦、余弦和对数的值。正如他所说，“在幂级数的帮助下，我几乎可以说，我可以分析解决所有问题。”
“Changing a problem is not cheating. It’s creative. And it may be the key to something greater.”
改变问题不是作弊。这是一种创意。并且它很可能是解决更重要问题的关键。
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不代表中科院物理所立场
2、安全期计算方法
安全期计算方法
正常育龄女性每个月来1次月经，从本次月经来潮开始到下次月经来潮第1天，称为1个月经周期。如从避孕方面考虑，可以将女性的每个月经周期分为月经期、排卵期和安全期。安全期避孕就是在排卵期内停止性生活的一种避孕方法。这是一种传统的避孕方法，在避孕药和宫内节育器问世之前是国内外常用的避孕方法之一。
安全期又分为排卵前安全期和排卵后安全期。从月经干净那天到排卵期开始的前一天的那段日期为排卵前安全期。从排卵期结束后的第一天到下次月经来潮的前一天为排卵后安全期。一般来说，排卵后安全期比排卵前安全期更安全。这是因为有些女性有时受环境变化和情绪波动等影响使排卵提前，这样排卵前安全期就会缩短，而自己并不知道，这样排卵前安全期就不大安全了。卵巢在一个月经周期中先后排两次卵的机会是极少的，即排卵后到下次月经来潮前这段时间一般不会再发生第二次排卵，所以，排卵后安全期就比较安全。
采用安全期避孕的关键是测定女性的排卵日期。卵巢排卵时，一般没有特殊感觉，即使有些女性可能有下腹痛、腰酸、乳房发胀及情绪改变等症状，但这些现象不是排卵时的特有症状，故不能作为排卵的'依据。月经和排卵呈周期性变化，两者之间有着密切的关系，如果掌握了两者的变化规律，就可以通过间接的方法来测定排卵日期。测定排卵日期的方法很多，而女性能够自己掌握的方法有：根据月经周期推算、测量基础体温以及观察宫颈粘液分泌等。
安全期计算方法
正常育龄女性每个月来1次月经，从本次月经来潮开始到下次月经来潮第1天，称为1个月经周期。如从避孕方面考虑，可以将女性的每个月经周期分为月经期、排卵期和安全期。安全期避孕就是在排卵期内停止性生活的一种避孕方法。这是一种传统的避孕方法，在避孕药和宫内节育器问世之前是国内外常用的避孕方法之一。
安全期又分为排卵前安全期和排卵后安全期。从月经干净那天到排卵期开始的前一天的那段日期为排卵前安全期。从排卵期结束后的第一天到下次月经来潮的前一天为排卵后安全期。一般来说，排卵后安全期比排卵前安全期更安全。这是因为有些女性有时受环境变化和情绪波动等影响使排卵提前，这样排卵前安全期就会缩短，而自己并不知道，这样排卵前安全期就不大安全了。卵巢在一个月经周期中先后排两次卵的机会是极少的，即排卵后到下次月经来潮前这段时间一般不会再发生第二次排卵，所以，排卵后安全期就比较安全。
采用安全期避孕的关键是测定女性的排卵日期。卵巢排卵时，一般没有特殊感觉，即使有些女性可能有下腹痛、腰酸、乳房发胀及情绪改变等症状，但这些现象不是排卵时的特有症状，故不能作为排卵的'依据。月经和排卵呈周期性变化，两者之间有着密切的关系，如果掌握了两者的变化规律，就可以通过间接的方法来测定排卵日期。测定排卵日期的方法很多，而女性能够自己掌握的方法有：根据月经周期推算、测量基础体温以及观察宫颈粘液分泌等。
安全期计算方法
一、安全期指的是什么
安全期大约为月经后10天内，和月经后第20天之后到下次月经来潮，距离行经期越近，避孕的可能性就越大。事实上，由于月经期不能性交，许多学者都将月经期从安全期的范围内剔除。安全期又分为排卵前安全期和排卵后安全期。
二、受孕期指的是什么
受孕期是与安全期相对应的。我们都知道，受孕的第一步是精卵结合，形成受精卵。女性一次月经周期通常只排出一个卵，而卵子的受孕能力（即存活)自卵巢排出后算起，最多只有24-48小时（在输卵管内等待受精)，而精子在女性生殖道里的寿命约2-3天，所以在排卵前2-3天，和排卵后1-2天性交，就有可能受孕，这个时期叫易孕期，也叫“危险期”、受孕期。
卵巢排卵一般在月经14天的前后2天内（具体看按月经周期来推算排卵期)，排卵日通常是前后两次月经的中间那几天。在没有排卵的时间，不可能受孕的。有排卵时，碰到精子才能受精。
三、危险期指的是什么
危险期就是易孕期（排卵期)，是排卵日的前后几天。为了保险起见，我们将排卵日的前5天和后4天，连同排卵日在内共10天称为排卵期。在排卵期内性交容易受孕。危险期只是针对避孕而言的。而如果打算要孩子，必须要安排在这段时间性交。
卵子的受孕能力从排卵后算起，最多只有24小时，而精子的寿命约3-4天，而排卵有时会早几天或是晚几天，所以危险期应该前后多加几天，是在“排卵前五，六天到排卵后两，三天”。排卵日通常是前后两次月经的中间那几天。
若是月经都是28-30天会来，则排卵日大约是月经的第14-16天，如此可大约推算出危险期（即受孕期、排卵期)是哪几天。另外，有一种通用简便的速算法：“最长的月经周期减11，最短的周期减18”，其间就是危险期。举例来说，若是月经都是28-30天会来，30-11=19，28-18=10，危险期就是从月经的第11-19天。
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