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内容导航：1、可导一定连续吗2、函数连续、导数存在与导函数连续1、可导一定连续吗
可导一定连续吗的答案是：一定
微积分是在17世纪末由英国物理学家、数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨建立起来的。微积分是由微分学和积分学两部分组成，微分学是基础。微分学的基本概念是导数和微分，核心概念是导数。导数反应了函数相对于自变量的变化率问题。
1、可导，即设y=f(x)是一个单变量函数。曲线y=f(x)在其上一点P(x0,y0)处的切线PT是割线PQ当动点Q沿此曲线无限接近于点P时的极限位置。
2、 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′(x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′(x)。
3、如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。如果某个函数是另一个函数的导函数，那么它必定只可能存在第二类间断点（则该点没有左右极限），这也就是构造反例时为什么直观上很难的原因：一个具有第二类间断点的函数的图像并不容易画出来。
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。
可微与连续的关系：可微与可导是一样的。
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。
可微=>可导=>连续=>可积。
2、函数连续、导数存在与导函数连续
我们都知道，导数存在和函数连续的关系，即，若函数在某点可导，则函数在该点必连续，反之不然。
可导与连续
但导数存在，仅仅意味函数在点导数存在，并不确认导函数在该点也连续。这是完全不同的概念。
请看例子。
函数在x=0连续
导函数
图 1 y=x^2sin(x)
图 2 y'=2xsin(1/x)-cos(1/x)
图3 导函数局部放大
函数y=x^2sin(x)在x=0可导，但导函数在x=0不连续。可参看图1，图2.
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