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摘要：手把手教你用(Python)零起步数学+神经网络入门！
在这篇文章中，我们将在Python中从头开始了解用于构建具有各种层神经网络（完全连接，卷积等）的小型库中的机器学习和代码。最终，我们将能够写出如下内容：
假设你对神经网络已经有一定的了解，这篇文章的目的不是解释为什么构建这些模型，而是要说明如何正确实现。
逐层
我们这里需要牢记整个框架：
1. 将数据输入神经网络
2. 在得出输出之前，数据从一层流向下一层
3. 一旦得到输出，就可以计算出一个标量误差。
4. 最后，可以通过相对于参数本身减去误差的导数来调整给定参数（权重或偏差）。
5. 遍历整个过程。
最重要的一步是第四步。 我们希望能够拥有任意数量的层，以及任何类型的层。 但是如果修改/添加/删除网络中的一个层，网络的输出将会改变，误差也将改变，误差相对于参数的导数也将改变。无论网络架构如何、激活函数如何、损失如何，都必须要能够计算导数。
为了实现这一点，我们必须分别实现每一层。
每个层应该实现什么
我们可能构建的每一层（完全连接，卷积，最大化，丢失等）至少有两个共同点：输入和输出数据。
现在重要的一部分
假设给出一个层相对于其输出（∂E/∂Y）误差的导数，那么它必须能够提供相对于其输入（∂E/∂X）误差的导数。
è®°ä½ï¼Eæ¯æ éï¼ä¸ä¸ªæ°åï¼ï¼XåYæ¯ç©éµã
我们可以使用链规则轻松计算∂E/∂X的元素：
为什么是∂E/∂X？
对于每一层，我们需要相对于其输入的误差导数，因为它将是相对于前一层输出的误差导数。这非常重要，这是理解反向传播的关键！在这之后，我们将能够立即从头开始编写深度卷积神经网络！
花样图解
基本上，对于前向传播，我们将输入数据提供给第一层，然后每层的输出成为下一层的输入，直到到达网络的末端。
对于反向传播，我们只是简单使用链规则来获得需要的导数。这就是为什么每一层必须提供其输出相对于其输入的导数。
这可能看起来很抽象，但是当我们将其应用于特定类型的层时，它将变得非常清楚。现在是编写第一个python类的好时机。
抽象基类：Layer
所有其它层将继承的抽象类Layer会处理简单属性，这些属性是输入，输出以及前向和反向方法。
from abc import abstractmethod# Base classclass Layer: def __init__(self): self.input = None; self.output = None; self.input_shape = None; self.output_shape = None; # computes the output Y of a layer for a given input X @abstractmethod def forward_propagation(self, input): raise NotImplementedError # computes dE/dX for a given dE/dY (and update parameters if any) @abstractmethod def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): raise NotImplementedError
正如你所看到的，在back_propagation函数中，有一个我没有提到的参数，它是learning_rate。 此参数应该类似于更新策略或者在Keras中调用它的优化器，为了简单起见，我们只是通过学习率并使用梯度下降更新我们的参数。
全连接层
现在先定义并实现第一种类型的网络层：全连接层或FC层。FC层是最基本的网络层，因为每个输入神经元都连接到每个输出神经元。
前向传播
每个输出神经元的值由下式计算：
使用矩阵，可以使用点积来计算每一个输出神经元的值：
当完成前向传播之后，现在开始做反向传播。
反向传播
正如我们所说，假设我们有一个矩阵，其中包含与该层输出相关的误差导数（∂E/∂Y）。 我们需要 ：
1.关于参数的误差导数（∂E/∂W，∂E/∂B）
2.关于输入的误差导数（∂E/∂X）
首先计算∂E/∂W，该矩阵应与W本身的大小相同：对于ixj，其中i是输入神经元的数量，j是输出神经元的数量。每个权重都需要一个梯度：
使用前面提到的链规则，可以写出：
那么：
这就是更新权重的第一个公式！现在开始计算∂E/∂B：
同样，∂E/∂B需要与B本身具有相同的大小，每个偏差一个梯度。 我们可以再次使用链规则：
得出结论：
现在已经得到∂E/∂W和∂E/∂B，我们留下∂E/∂X这是非常重要的，因为它将“作用”为之前层的∂E/∂Y。
再次使用链规则：
最后，我们可以写出整个矩阵：
æ们已ç»å¾å°FCå±æéçä¸ä¸ªå ¬å¼ï¼
编码全连接层
现在我们可以用Python编写实现：
from layer import Layerimport numpy as np# inherit from base class Layerclass FCLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons # output_shape = (1,j) j the number of output neurons def __init__(self, input_shape, output_shape): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = output_shape; self.weights = np.random.rand(input_shape[1], output_shape[1]) - 0.5; self.bias = np.random.rand(1, output_shape[1]) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.dot(self.input, self.weights) + self.bias; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): input_error = np.dot(output_error, self.weights.T); dWeights = np.dot(self.input.T, output_error); # dBias = output_error # update parameters self.weights -= learning_rate * dWeights; self.bias -= learning_rate * output_error; return input_error;
激活层
到目前为止所做的计算都完全是线性的。用这种模型学习是没有希望的，需要通过将非线性函数应用于某些层的输出来为模型添加非线性。
现在我们需要为这种新类型的层（激活层）重做整个过程！
不用担心，因为此时没有可学习的参数，过程会快点，只需要计算∂E/∂X。
我们将f和f'分别称为激活函数及其导数。
前向传播
正如将看到的，它非常简单。对于给定的输入X，输出是关于每个X元素的激活函数，这意味着输入和输出具有相同的大小。
反向传播
给出∂E/∂Y，需要计算∂E/∂X
注意，这里我们使用两个矩阵之间的每个元素乘法（而在上面的公式中，它是一个点积）
编码实现激活层
激活层的代码非常简单：
from layer import Layer# inherit from base class Layerclass ActivationLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons def __init__(self, input_shape, activation, activation_prime): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = input_shape; self.activation = activation; self.activation_prime = activation_prime; # returns the activated input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = self.activation(self.input); return self.output; # Returns input_error=dE/dX for a given output_error=dE/dY. # learning_rate is not used because there is no "learnable" parameters. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): return self.activation_prime(self.input) * output_error;
可以在单独的文件中编写一些激活函数以及它们的导数，稍后将使用它们构建ActivationLayer：
import numpy as np# activation function and its derivativedef tanh(x): return np.tanh(x);def tanh_prime(x): return 1-np.tanh(x)**2;
损失函数
到目前为止，对于给定的层，我们假设给出了∂E/∂Y（由下一层给出）。但是最后一层怎么得到∂E/∂Y？我们通过简单地手动给出最后一层的∂E/∂Y，它取决于我们如何定义误差。
网络的误差由自己定义，该误差衡量网络对给定输入数据的好坏程度。有许多方法可以定义误差，其中一种最常见的叫做MSE - Mean Squared Error：
其中y *和y分别表示期望的输出和实际输出。你可以将损失视为最后一层，它将所有输出神经元吸收并将它们压成一个神经元。与其他每一层一样，需要定义∂E/∂Y。除了现在，我们终于得到E！
以下是两个python函数，可以将它们放在一个单独的文件中，将在构建网络时使用。
import numpy as np# loss function and its derivativedef mse(y_true, y_pred): return np.mean(np.power(y_true-y_pred, 2));def mse_prime(y_true, y_pred): return 2*(y_pred-y_true)/y_true.size;
网络类
到现在几乎完成了！我们将构建一个Network类来创建神经网络，非常容易，类似于第一张图片！
我注释了代码的每一部分，如果你掌握了前面的步骤，那么理解它应该不会太复杂。
from layer import Layerclass Network: def __init__(self): self.layers = []; self.loss = None; self.loss_prime = None; # add layer to network def add(self, layer): self.layers.append(layer); # set loss to use def use(self, loss, loss_prime): self.loss = loss; self.loss_prime = loss_prime; # predict output for given input def predict(self, input): # sample dimension first samples = len(input); result = []; # run network over all samples for i in range(samples): # forward propagation output = input[i]; for layer in self.layers: # output of layer l is input of layer l+1 output = layer.forward_propagation(output); result.append(output); return result; # train the network def fit(self, x_train, y_train, epochs, learning_rate): # sample dimension first samples = len(x_train); # training loop for i in range(epochs): err = 0; for j in range(samples): # forward propagation output = x_train[j]; for layer in self.layers: output = layer.forward_propagation(output); # compute loss (for display purpose only) err += self.loss(y_train[j], output); # backward propagation error = self.loss_prime(y_train[j], output); # loop from end of network to beginning for layer in reversed(self.layers): # backpropagate dE error = layer.backward_propagation(error, learning_rate); # calculate average error on all samples err /= samples; print('epoch %d/%d error=%f' % (i+1,epochs,err));
构建一个神经网络
最后！我们可以使用我们的类来创建一个包含任意数量层的神经网络！为了简单起见，我将向你展示如何构建......一个XOR。
from network import Networkfrom fc_layer import FCLayerfrom activation_layer import ActivationLayerfrom losses import *from activations import *import numpy as np# training datax_train = np.array([[[0,0]], [[0,1]], [[1,0]], [[1,1]]]);y_train = np.array([[[0]], [[1]], [[1]], [[0]]]);# networknet = Network();net.add(FCLayer((1,2), (1,3)));net.add(ActivationLayer((1,3), tanh, tanh_prime));net.add(FCLayer((1,3), (1,1)));net.add(ActivationLayer((1,1), tanh, tanh_prime));# trainnet.use(mse, mse_prime);net.fit(x_train, y_train, epochs=1000, learning_rate=0.1);# testout = net.predict(x_train);print(out);
同样，我认为不需要强调很多事情，只需要仔细训练数据，应该能够先获得样本维度。例如，对于xor问题，样式应为（4,1,2）。
结果
$ python xor.py epoch 1/1000 error=0.322980epoch 2/1000 error=0.311174epoch 3/1000 error=0.307195...epoch 998/1000 error=0.000243epoch 999/1000 error=0.000242epoch 1000/1000 error=0.000242[array([[ 0.00077435]]), array([[ 0.97760742]]), array([[ 0.97847793]]), array([[-0.00131305]])]
卷积层
这篇文章开始很长，所以我不会描述实现卷积层的所有步骤。但是，这是我做的一个实现：
from layer import Layerfrom scipy import signalimport numpy as np# inherit from base class Layer# This convolutional layer is always with stride 1class ConvLayer(Layer): # input_shape = (i,j,d) # kernel_shape = (m,n) # layer_depth = output depth def __init__(self, input_shape, kernel_shape, layer_depth): self.input_shape = input_shape; self.input_depth = input_shape[2]; self.kernel_shape = kernel_shape; self.layer_depth = layer_depth; self.output_shape = (input_shape[0]-kernel_shape[0]+1, input_shape[1]-kernel_shape[1]+1, layer_depth); self.weights = np.random.rand(kernel_shape[0], kernel_shape[1], self.input_depth, layer_depth) - 0.5; self.bias = np.random.rand(layer_depth) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.zeros(self.output_shape); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): self.output[:,:,k] += signal.correlate2d(self.input[:,:,d], self.weights[:,:,d,k], 'valid') + self.bias[k]; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): in_error = np.zeros(self.input_shape); dWeights = np.zeros((self.kernel_shape[0], self.kernel_shape[1], self.input_depth, self.layer_depth)); dBias = np.zeros(self.layer_depth); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): in_error[:,:,d] += signal.convolve2d(output_error[:,:,k], self.weights[:,:,d,k], 'full'); dWeights[:,:,d,k] = signal.correlate2d(self.input[:,:,d], output_error[:,:,k], 'valid'); dBias[k] = self.layer_depth * np.sum(output_error[:,:,k]); self.weights -= learning_rate*dWeights; self.bias -= learning_rate*dBias; return in_error;
它背后的数学实际上并不复杂！这是一篇很好的文章，你可以找到∂E/∂W，∂E/∂B和∂E/∂X的解释和计算。
如果你想验证你的理解是否正确，请尝试自己实现一些网络层，如MaxPooling，Flatten或Dropout
GitHub库
你可以在GitHub库中找到用于该文章的完整代码。
本文由阿里云云栖社区组织翻译。
文章原标题《math-neural-network-from-scratch-in-python》
作者：Omar Aflak 译者：虎说八道，审校：袁虎。
2、胸小穿什么罩杯合适：小胸适合穿什么罩杯
小胸适合穿什么罩杯
小胸适合穿二分之一罩杯、四分之三罩杯、三角杯等等，尺码上一般以A、B为主。小胸的人不适合穿全罩杯，但如果觉得全罩杯很舒适也尝试，只是尺码不要选太大。如果是胸型特别小的话，可尝试三角杯，它很美观且最适合胸型小的人。
小胸适合穿什么罩杯
1、三角杯
胸型偏小最适合穿三角杯，因为它有三个好处，一是更美观、二是更舒适、三是更适合小胸。三角杯能够避免小胸的人穿内衣时出现上移、空杯等等尴尬的问题。
2、二分之一罩杯
二分之一罩杯可以将肩带卸下变成无肩带类型的，它比较容易搭配，而且很性感会显胸，是小胸的人专属的罩杯之一，效果很好看，且能塑造完美胸型。
3、四分之三罩杯
它既有很好的包裹性，又有一些矫正的效果，通常会使用上面薄、下面厚的设计，可以让小胸看上去更丰满，很适合小胸长期穿。
小胸适合穿美背内衣吗
小胸是适合穿美背呢衣的，但要尽量选择修饰功能为主的美背内衣，如果选择其他类型的美背，容易让胸型显得更小，且舒适性也不如其他内衣那么好，相反修饰型美背内衣更适合小胸，能修饰后背曲线，身材偏瘦的人穿着更好看。
小胸适合穿厚的内衣还是薄的
小胸适合穿薄的内衣。因为内衣轻薄会让罩杯更软，这样它就会更贴合胸部，穿的时候就会比较舒服，也不容易让小胸出现空杯问题，而厚的内衣就没有这些优势。一般来说小胸的人适合选择内衣厚度是0、3-0、6厘米之间的内衣。
但实际穿的过程中，需要结合各种需求来选择内衣，因为内衣薄虽然适合小胸，但它也会有一些缺点，比如它的塑形能力稍弱一点，无法体现出曲线的美感，所以关键在于穿内衣时要兼顾舒适、不空杯、能塑形等几个方面。
小胸适合穿什么罩杯
1、3/4罩杯，特别是3/4上薄下厚罩杯杯型的文胸，不仅可以很好地呵护、包容乳房，而且由于上薄下厚的设计，会让小胸在视觉上给人丰满的效果，长期穿戴也有利于乳房的健康以及胸型的矫正。
2、适合胸小女生穿的文胸罩杯就是1/2罩杯，这类罩杯可以说是小胸的专属杯型，当然，这里说的小胸是指特别小（平胸类型），经常只能选择A罩杯或者AA罩杯的女性。B罩杯的女生也好穿，而且穿起来的效果非常棒，它是半杯式的设计，所以塑造的胸型是非常完美、漂亮的。
3、全罩杯文胸，不过小胸要穿戴全罩杯文胸，首先尺码得选好，再就是最好选择加内垫或者加厚型的，不然的话，穿起来是没什么胸型效果的，所以小胸选择全罩杯文胸来穿，一定选择好尺码。
4、就是5/8罩杯，其实，这类罩杯和3/4是差不多的，也非常适合小胸穿戴，长期穿戴也有利于乳房的健康。
总之，胸小女生选择好适合自己的文胸，也一样有上挺、丰满、超有曲线美感，展现自己的魅力。
小胸适合穿什么罩杯
1、胸小的人适合穿什么样的内衣
(1)穿纯棉无钢圈的内衣，胸小的话最大的好处就是负担小，可以选择很舒服的内衣穿，表现的最明显的就是夏季，天气本来就热，胸大的女生为了防止胸部不下垂，还是需要穿紧身塑性款的内衣，这样子就更加热，而胸小的女生选择轻薄纯棉透气内衣穿上就很合适，普通的内衣就可以有效的防止胸部下垂，穿没有钢圈的内衣会舒服很多。内衣
(2)穿颜色浅的内衣，这一点不管是胸大还是胸小的女生都适用，因为内衣的颜色越深，染料就越多，要是购买了质量不过关还掉色的内衣，穿起来是很不好的，胸部是女性很重要的一个器官，女生平时穿内衣的时候就要注意一点。穿浅色的内衣还有很重要的一点就是防止走光，尤其是在夏天，穿浅色的内衣很重要。
(3)吊带款式的内衣也很适合胸小的女生，现在有很多小吊带里面是带有胸贴的，这样子穿起来就很舒服凉快，胸小的女生穿这种样子的内衣也没有一点压力，现在很多女生在出去玩的时候都会这么出穿，是很时尚好看的，感觉太露了，放不开的女生外面搭配一件小开衫或者是镂空的毛衣都会很好看。内衣
2、哪些品牌的内衣适合胸小的.女生穿
(1)南极人内衣，大家应该都听说过这个牌子的吧，冬天穿的很多保暖内衣都是它家的，这算是一个国民品牌的内衣店，里面很多内衣都是纯棉的，摸起来也很柔软，是很适合胸小的女孩子穿的。它家的女性内衣款式都比较简单，穿起来比较舒服，算是中等价位，大家可以去选购一下哦。
(2)红豆居家的内衣，这也是很出名的一个内衣品牌，它家的睡衣一直很受欢迎，颜色比较浅比较清新，穿着睡觉就比较放松，里面也有很多的内衣可以选择，因为质量还可以，价格也不怎么贵，小编上大学的时候穿的很多内衣都是在它家买的，相比上一家，这里面的内衣款式有很多，还可以根据不同的季节来选择。内衣
(3)100%感觉内衣，这个牌子也是一个连锁的内衣品牌，所以在很多地方都能看见这个店铺，小编感觉它家店铺的内衣穿起来也还不错，如果胸比较小，但是想要看起来大一点的话，就可以去买它家一些比较厚的内衣，穿在身上就会感觉胸部比较丰满，虽然厚，但是穿起来没有很闷的感觉。
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