本文目录
- excel问题
- VBA转发邮件
- s=1+22+333++nnn..n,求s. 用vf， 讲一下这里的内，外循环灰常感谢~~
- 二项式定理题目的解题方法
- 东方神起所有的歌
- 混沌方程是什么
- outlook中转发邮件时直接修改附件
excel问题
MATCH( )用途：返回在指定方式下与指定数值匹配的数组中元素的相应位置。如果需要找出匹配元素的位置而不是匹配元素本身，则应该使用MATCH 函数。注意：MATCH函数返回lookup_array 中目标值的位置，而不是数值本身。语法：MATCH(lookup_value，lookup_array，match_type)。参数：Lookup_value为需要在数据表中查找的数值，它可以是数值(或数字、文本或逻辑值)、对数字、文本或逻辑值的单元格引用。Lookup_array是可能包含所要查找的数值的连续单元格区域，Lookup_array可以是数组或数组引用；Match_type 为数字-1、0或1 ，它说明Excel 如何在lookup_array 中查找lookup_value。如果match_type 为1，函数MATCH 查找小于或等于lookup_value 的最大数值。如果match_type 为0，函数MATCH 查找等于lookup_value 的第一个数值。如果match_type 为-1，函数MATCH 查找大于或等于lookup_value 的最小数值。 如果match_type 为0 且lookup_value 为文本，lookup_value可以包含通配符(“*”和“?”)。星号可以匹配任何字符序列，问号可以匹配单个字符。 实例：如果A1=68、A2=76、A3=85、A4=90，则公式“=MATCH(90，A1:A5，0)”返回4。
VBA转发邮件
Private Sub Application_open() ’On Error GoTo 1000 Dim myOlApp As Application Dim myNameSpace As NameSpace Dim myibox As MAPIFolder Dim mydelitems As MAPIFolder Dim myitem As MailItem Set myOlApp = CreateObject( “Outlook.Application “) Set myNameSpace = myOlApp.GetNamespace( “MAPI “) Set olApp = Outlook.Application Set nmsName = olApp.GetNamespace(“MAPI“) For Each fldFolder In nmsName.Folders For Each subFolder In fldFolder.Folders If (subFolder.Name = “Inbox“) Then For Each objitem In subFolder.Items If objitem.Subject= “YourSubject“ Then objitem.Recipients.Add (“aaa@163.com“) objitem.Recipients.Add (“bbb@163.com“) objitem.Recipients.Add (“ccc@163.com“) objitem.Send End If Next End If Next NextEnd Sub
好久没写过这个了，大概就是这么回事吧，没测试过，你本地自己试试吧，然后自己看情况改一改
s=1+22+333++nnn..n,求s. 用vf， 讲一下这里的内，外循环灰常感谢~~
1、i=1时，p=1，j=1 to 0，不进入内循环，s=s+p=0+12、i=2时，p=2，j=1 to 1，内循环1次， p=2*10+2=22 s=s+p=1+223、i=3时，p=3，j=1 to 2，内循环2次， p=3*10+3=33 p=33*10+3=333 s=s+p=1+22+3334、i=4时，p=4，j=1 to 3，内循环3次， p=4*10+4=44 p=44*10+4=444 p=444*10+4=4444 s=s+p=1+22+333+4444......以此类推
二项式定理题目的解题方法
var script = document.createElement(’script’); script.src = ’ 解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)xxxxCxCxCCxCxC故展开式中含x的项为4554455522240CxCCxx，故展开式中x的系数为240.练：求式子31(2)xx的常数项？解：3611(2)()xxxx，设第1r项为常数项，则66261661(1)()(1)rrrrrrrTCxCxx，得620r,3r,33316(1)20TC.题型八：两个二项式相乘； 例：342(12)(1)xxx求展开式中的系数. 解：333(12)(2)2,mmmmmxxx的展开式的通项是CC 444(1)C()C1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,nnnnnxxxmn的展开式的通项是其中 342,02,11,20,(12)(1)mnmnmnmnxx令则且且且因此 20022111122003434342(1)2(1)2(1)6xCCCCCC的展开式中的系数等于.练：610341(1)(1)xx求展开式中的常数项.解：436103341261061041(1)(1)mnmnmnmnxCxCxCCxx展开式的通项为0,3,6,0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,mmmmnmnnnn其中当且仅当即或或 0034686106106104246CCCCCC时得展开式中的常数项为.练：2*31(1)(),28,______.nxxxnNnnx已知的展开式中没有常数项且则解：3431()CC,nrnrrrnrnnxxxxx展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得 44142C,C,C,,28rnrrnrrnrnnnxxxn展开式中不含常数项 441424,83,72,6,5.nrnrnrnnnn且且，即且且 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(2),,2,_____.xxSxS在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时解：2006123200601232006(2)xaaxaxaxax设=-------①2006123200601232006(2)xaaxaxaxax=-------②3520052006200613520052()(2)(2)axaxaxaxxx①②得2006200620061(2)()[(2)(2)]2xSxxx展开式的奇次幂项之和为320062200620063008122,(2)[(22)(22)]222xS当时 题型十：赋值法；例：设二项式31(3)nxx的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若 272ps,则n等于多少？解：若230121(3)nnnxaaxaxaxx，有01nPaaa，02nnnnSCC，令1x得4nP，又272ps,即42272(217)(216)0nnnn解得216217()nn或舍去，4n.练：若nxx13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？ 解：令1x，则nxx13的展开式中各项系数之和为264n，所以6n，则展开式的常数项为33361(3)()Cxx540.例：200912320092009120123200922009(12)(),222aaaxaaxaxaxaxxR若则的值为解：2009200912120022009220091,0,2222222aaaaaaxaa令可得20091202200901,1.222aaaxa在令可得因而 练：55432154321012345(2),____.xaxaxaxaxaxaaaaaa若则 解：0012345032,11,xaxaaaaaa令得令得 1234531.aaaaa 题型十一：整除性； 例：证明：22*389()nnnN能被64整除 证：2211389989(81)89nnnnnn 011121111111888889nnnnnnnnnnCCCCCn 011121118888(1)189nnnnnnCCCnn01112111888nnnnnnCCC 由于各项均能被64整除22*389()64nnnN能被整除
东方神起所有的歌
主要依照英文字母与中文笔画排序，少数新增档才会放在该类最后面...--1.A Whole New World(Special Track)2.All In Vain http://www.mediafire.com/?4jxmt3mhsdj3.Always There(清)4.Angle We Have Heard On High(清)5.Balloons6.Balloons(New ver)7.Beautiful Life8.Beautiful Life (日)9.Begin10.Begin(清) http://www.mediafire.com/?3botyw1sx4v11.Break up the shell http://www.mediafire.com/?c2z5ghn3nrn12.Choosey Lover13.Choosey Lover(R.Yamaki’s Groove Mix) http://www.mediafire.com/?by391jtyztg14.Dangerous Mind15.Dead End16.Drive http://www.mediafire.com/?10zdyzd1gi317.Drive (加长版) http://www.mediafire.com/?6nmcieh313w18.Eternal http://www.mediafire.com/?8z5mnwrmxnl19.Evergreene20.Forever Love (BellnSnow Edit) http://www.mediafire.com/?44ett0zvdnx21.Forever Love(PV Ver.) http://www.mediafire.com/?4sd3g9deym522.Forever Love(清)23.Free Your Mind(Live)24.Free your mind(混音版)25.Get Me Some26.Get me some (new.ver)27.Heart, mind and soul28.Heart, mind and soul(清)29.Hello again30.Hey! gril31.Hi ya ya 夏日 http://www.mediafire.com/?3yymhdtimg932.Hi ya ya 夏日 (TV remix ver.)33.High Time34.Hot Mail35.HUG(International Ver.)_Radio Edit.36.Hug(中)37.Hug(日)38.Hug(英) http://www.mediafire.com/?3b2mnet2yqx39.Hug(清)40.Hug(韩)41.I wanna hold you http://www.mediafire.com/?emzymzfjziy42.I’ll be there43.In the still of the night(清) http://www.mediafire.com/?4ylus3zb2n144.Jesus, Joy of Mans Desiring(清) http://www.mediafire.com/?acnmi2ztd0945.Love After Love46.Love In The Ice47.Love Is48.Love Is All I Need http://www.mediafire.com/?2mmtjcn9v1n49.Lovin’you50.Lovin’you(Harus deep water mix) http://www.mediafire.com/?egxzux3321y51.Magic Castle 魔法之城 http://www.mediafire.com/?4jhndjdekjz52.Million Man http://www.mediafire.com/?0mchcygtkug53.Miss You54.miss you (ballade ver.) http://www.mediafire.com/?a2jkeh4nkmg55.Miss you(抒情版) http://www.mediafire.com/?5hvyczmyo1j56.Mountain Spring(清) http://www.mediafire.com/?54dyyzgmdzm57.My Destiny58.My Destiny(清) http://www.mediafire.com/?5hxpz5nyw1h59.My Little Princess60.My Little Princess(中) http://www.mediafire.com/?3k3wexmutzx61.My Little Princess(清) http://www.mediafire.com/?0kbmoyziryj62.No Pain No Gain http://www.mediafire.com/?7htnnnxgvxt63.Oasis64.Oh holy night(清)65.ON & ON66.One67.One (日)68.O正反合(日)69.O正反合(韩)70.Phantom71.Proud http://www.mediafire.com/?71vwke35tez72.Proud(清73.Red Sun74.Remember75.Remember (Drama Ver.)76.Ride on http://www.mediafire.com/?0zms3yygijx77.Rising Sun (Extended Ver.)78.Rising Sun(中)79.Rising Sun(日)80.Rising Sun(韩)81.Santa Claus Is Comin To Town(清) http://www.mediafire.com/?c2xmlxmdmzk82.Shine http://www.mediafire.com/?7zootfmyu4l83.Show Me Your Love http://www.mediafire.com/?5z91mwhig1a84.Silent Night Holy Night(清) http://www.mediafire.com/?fnygr4tbwmm85.Sky86.Sky(Tvp utas mix) http://www.mediafire.com/?1iybxmxxuxv87.SM Town-Only Love88.Snow Dream http://www.mediafire.com/?fqytvtdlz5t89.Somebody To Love90.Somebody To Love(清)91.Song for you http://www.mediafire.com/?8wzvokcx9gj92.Stay with me tonight93.Stay With Me Tonight(清)94.Step by Step95.Summer Dream http://www.mediafire.com/?dtfo1c0mzxq96.Thanks To97.The First Noel http://www.mediafire.com/?bmthmypfajb98.The Story Has Just Begun http://www.mediafire.com/?8zltxphmtwk99.The Way U Are(Extended ver.)100.The Way U Are(中) http://www.mediafire.com/?6rxjlmc91yw101.The Way U Are(日)102.The Way U Are(韩) http://www.mediafire.com/?6ymzqomdrrv103.Through The Forest104.Together105.Together (Kids Chorus ver.) http://www.mediafire.com/?e5zdwgggbky106.Tonight107.Tri Angle (东方神起版)108.Tri-angle (feat.张力尹)109.Tri-Angle(feat. 宝儿)110.Tri-Angle(中) http://www.mediafire.com/?dbxzue4m1wp111.Try My Love112.Whatever They Say http://www.mediafire.com/?auth0tqjvmy113.Whatever They Say(清) http://www.mediafire.com/?dmmzmwto2mt114.When We’ll be Together 没有你的我 http://www.mediafire.com/?9glnigrtmed115.You Only Love116.You’re My Miracle117.You’re my Miracle(日) http://www.mediafire.com/?7rzgbqiouxr118.ZION119.一日月 http://www.mediafire.com/?61xh000ynjb120.一月 Day moon(日) http://www.mediafire.com/?44bdnyttgoy121.千年恋歌 http://www.mediafire.com/?6ifyy2th3bo122.小鬼呀！123.五线纸 http://www.mediafire.com/?6l1sxcyjqxx124.允浩-Speaks Man http://www.mediafire.com/?cmq5onwgttp125.日本solo-允浩-Crazy Lif http://www.mediafire.com/?9b91mxsqf0l126.日本solo-在中-Maze http://www.mediafire.com/?6nswsyvg20y127.日本solo-有天-My Girlfriend http://www.mediafire.com/?bdh9ntzxlmk128.日本solo-昌珉-Wild Sou http://www.mediafire.com/?bxxhyxx9yxl129.日本solo-俊秀-Rainy Night http://www.mediafire.com/?dctjjvmm93m130.去旅行 http://www.mediafire.com/?ejz3tsle25k131.可以做我的女朋友吗 http://www.mediafire.com/?b0z3d2zzwm3132.只要能在你身边呼吸 http://www.mediafire.com/?1gcgbmzjets133.因为我答应 http://www.mediafire.com/?eeohqi1cvtl134.因为是属於你们的 I wish… http://www.mediafire.com/?0qzdw422dgo135.在中-Crying http://www.mediafire.com/?9fmvdjhz0jn136.在中-Incompleted http://www.mediafire.com/?bihe2w3xmit137.在中-Just for One Day http://www.mediafire.com/?3muulsbi3cn138.有天＆昌珉-I know I loved you http://www.mediafire.com/?bm5ujsgte3z139.有天-One Last Cry http://www.mediafire.com/?2z3hbtw3n0r140.你，无论何时 http://www.mediafire.com/?0wnmjjzk2dm141.我不曾让你走 http://www.mediafire.com/?4jejrdzvme4142.我相信(中) http://www.mediafire.com/?bf1tlz2uqmz143.我相信(韩) http://www.mediafire.com/?amcnvcmoty4144.束缚贝壳 http://www.mediafire.com/?fxenbh3tg0i145.步伐 http://www.mediafire.com/?4qyxtt9dmt0146.昌珉-I Love You http://www.mediafire.com/?5oyen5xczvd147.昌珉-Just once http://www.mediafire.com/?5zsywu9jnt1148.昌珉-When I first Kissed you http://www.mediafire.com/?fxykxzwmgmm149.明日150.明日(2 Future Club mix) http://www.mediafire.com/?byegystbtlu151.明日(Vocal & Piano)152.东方斗魂 http://www.mediafire.com/?3eh9mnmgd1c153.东方斗魂(2 Step Ver.)154.东方斗魂(Instrumental)155.东方斗魂(Vibe7 Ver.)156.俊秀&张力尹-Timeless(中) http://www.mediafire.com/?09xm4ttjim9157.俊秀&张力尹-Timeless(韩) http://www.mediafire.com/?01dgb10twmv158.俊秀-All Rise http://www.mediafire.com/?cqsy5zxmgzy159.俊秀-Anyband-daydream160.俊秀-Anyband-Promise U http://www.mediafire.com/?8lvhmgnqtqz161.俊秀-Anyband-Talk Play Love http://www.mediafire.com/?bnmmzgwslm2162.俊秀-Beatuiful Thing http://www.mediafire.com/?1jnihg3xeyz163.俊秀-My Page http://www.mediafire.com/?bzzb1tmljzk164.俊秀-Propos http://www.mediafire.com/?3jxzthqjytt165.俊秀-死心 http://www.mediafire.com/?1jkmwtuay5w166.俊秀-我一直对你 http://www.mediafire.com/?dnnimmnvzk1167.俊秀-连那痛苦也要爱（有伴奏） http://www.mediafire.com/?0tszvm39i1z168.俊秀-连那痛苦也要爱（清）169.约束170.约束(Extra Nsb Mix) http://www.mediafire.com/?a5jey1ctov1171.幸田来未-Last angel (feat. 东方神起)172.夏日里的圣诞夜 http://www.mediafire.com/?5mzmdix2lfd173.旅行记 http://www.mediafire.com/?8uyybhgjjhn174.旅行记（Vocal & Piano）175.问候-全体版 http://www.mediafire.com/?dezl1cyjyyi176.问候-在中版 http://www.mediafire.com/?4yzvbmyy0ey177.无须言语 http://www.mediafire.com/?e1ty434kjiy178.然后...(Holding Back The Tears忍住我的泪)179.傻瓜(中)180.傻瓜(韩)181.想爱不能爱 http://www.mediafire.com/?cdhjehmmbol182.像现在一样 http://www.mediafire.com/?cgzmjugnytn183.像现在一样（Vocal & Piano）184.骤雨-有天版 http://www.mediafire.com/?eyugzz1trxo185.骤雨-神起版 http://www.mediafire.com/?c1e9nejzme4186.Purple Line(日)187.CLAP！188.TRICK189.Rainbow翻唱类：1.五只-bobofor http://www.mediafire.com/?3texugnirtz2.五只-LAST ANGEL(纯合音部分) http://www.mediafire.com/?6czonggmjcg3.五只-MBC唱的禁烟歌4.五只-小丑鱼 http://www.mediafire.com/?20czhxzyycw5.五只-扑通扑通 http://www.mediafire.com/?bjjs1jnnimg6.五只-生日快乐歌 http://www.mediafire.com/?fzjb4ezyutr7.五只-希望(清唱版) http://www.mediafire.com/?0g41ezj4xnh8.五只-我爱你9.五只-想你 http://www.mediafire.com/?1mx1x5jndpc10.在中&SEVEN&李路&李胜基-天鹅的梦11.在中＆希澈-序诗 http://www.mediafire.com/?6nxumwxnhyx12.在中-I believe i can fly http://www.mediafire.com/?b1xnxecjdcx13.在中-分手以后＆恨 http://www.mediafire.com/?foxjzywdttz14.在中-生日快乐歌 R&B 版 http://www.mediafire.com/?c0mnlu2fyk115.在中-生日快乐歌 Rock 版 http://www.mediafire.com/?3ptxzlyzr5c16.在中-生日快乐歌 Trot 版 http://www.mediafire.com/?8nxjuegc1my17.在中-几首小solo集合 http://www.mediafire.com/?ani1mzytbtx18.有天-How Deep Is Your Love http://www.mediafire.com/?3z0pvzyhmyn19.有天-parislover白色的回忆 http://www.mediafire.com/?d4zdtodzdyn20.有天-Rap and Narration21.有天-She http://www.mediafire.com/?2jj0j1plz1922.俊秀&昌珉-Timeless http://www.mediafire.com/?augntibm03y23.俊秀-greatest love of all http://www.mediafire.com/?awegywchvmy24.俊秀-lately http://www.mediafire.com/?45mdlxljxnh25.俊秀-不能送走的你 http://www.mediafire.com/?0eabxmzol2d26.俊秀-我爱你 http://www.mediafire.com/?2ycsqaulvyz27.俊秀-看到相片 http://www.mediafire.com/?4v1zyz2thgx28.俊秀-致新娘 http://www.mediafire.com/?b2rtke2dnzz29.俊秀-爱的记忆 http://www.mediafire.com/?c5dhw1jg3z130.在中-纳豆之歌非音乐类：1.五只-Pray For God(神起的祈祷) http://www.mediafire.com/?0o3xyjxqx4y2.五只-小湖水的悄悄话 13.五只-小湖水的悄悄话 24.允浩-叫四只起床 http://www.mediafire.com/?b2rzbm12oxz5.允浩-演唱会 Rap 片段6.台湾演唱会 CASSIOPEIA 好棒 http://www.mediafire.com/?5d3dnlxjz9c7.空间(天空和海洋之间...Whisper of...)8.俊秀-俊秀的加油9.神起说中文-HERO-小心感冒10.神起说中文-MAX-你们很漂亮11.神起说中文-MICKY-圣诞快乐12.神起说中文-UKNOW-见到你们很高兴13.神起说中文-XIAH-春节快乐纯合音版1.Begin2.Forever Love（自制）3.High time4.Hug(中)（自制）5.Hug(英)（自制）http://www.mediafire.com/?5zr2xnmmczd6.Love in the ice7.Lovin’ you8.My destiny9.No pain no gain10.Sky11.Somebody to love12.Song for you13.Stay with me tonight14.Summer Dream15.The way you are(日)16.Try my love17.五线纸18.因为还有明天19.幸田来未-Last angel（自制）20.无须言语Less Vocal1.Beautiful things2.Choosey Lover3.Day moon 一月(日 less ver)4.Eernal5.Evergeen(less ver.)6.Forever Love7.Heart, Mind And Soul (Less Vocal)8.Hi Ya Ya 夏日(Instrumental)9.Hug10.Last angle feat.东方神起(Instrumental)11.Love in the Ice12.Magic Castle (Instrumental)13.Miss you14.My destiny(Piano Ver.)15.No Pain No Gain(Less Vocal)16.O正反合(Piano ver.)17.O正反合(日)18.proud19.Ride On20.Rising sun (less ver)21.Rising Sun(piano ver.)22.SHINE23.Show me your love24.Song for you25.Step by Step26.Summer Dream27.Together(Less Vocal)28.Whatever they say29.一日月(Instrumental)30.因为是属於你们的 I wish...(Instrumental)31.东方斗魂(Instrumental)32.俊秀-Anyband-Promise You33.俊秀-Anyband-TPL34.然后..(Holding back the tears忍住我的泪)35.You’re My Miracle(Piano ver.)
混沌方程是什么
对于混沌产生的机制, 或通向混沌的道路问题, 我们不能作全面, 深入的介绍, 我们只想通过一个简单的例子揭示一种典型的通向混沌的道路, 从而使我们对混沌现象有较正确的认识.这个例子是生物学家梅(May)在1976年给出的, 是反映生态学中昆虫繁殖情况的, 昆虫繁殖可作为一个动力系统. 动力系统是一个广泛的概念, 它由状态 (并给出描述状态的量) 和动态特性 (状态演化规则)组成.设某种昆虫第n代的虫口数为,nx 第1+n代的虫口数为1+nx, 则这种昆虫的演化规律可表示为)1(1nnnxxx-=+λ ,3,2,1=n其中λ为参数, 1+n代的昆虫数正比于第n代的昆虫数, 同时要减去因食物有限及接触传染导致的昆虫死亡数. 方程中因存在2nxλ项, 成为非线性迭代方程. 这种迭代关系也称为逻辑斯谛映射(logistic map). 为了简化, 设nx的取值范围为. 一,周期倍化分叉过程 从任何初始值出发迭代时, 一般有个暂态过程, 但当迭代次数很大, 即当∞→n时, 演化会导致一个确定的终态. 我们关心的是终态, 终态情况与参数λ的取值有很大关系. 数值计算结果如下. λ的值 终 态 4.2=λ 1271==+nnxx (一个不动点) 周期为1. 2.3=λ nnxx=+2 0513.05799.0 周期为2. 5.3=λ nnxx=+1 |←←- -→→ 9500.00875.0 9862.08382.0 | 周期为4. ┇ 周期为 ,16,8等的周期倍化分叉 过程. 4~569.3=λ 基本上为混沌区(即周期为∞),其中还有周期窗口, 并具有一定结构. 设,ξ=∞→nnx 则终态集ξ和λ的关系可用图4.表示(示意图, 未按比例画).我们可以看到混沌产生和发展的过程. 当13》》λ时, 迭代的终态是一个确定值(或称不动 点), 不管初值取何值, 终态是同一值, 此值只与λ有关, 与λ值一一对应, 例如4.2=λ时,127=ξ. 到达终态后, 每经过一次迭代都回到迭代前的值, 故称其周期为1. 当3449.3》》λ时, 看到曲线从3=λ处开始分叉为2支, 即与一个λ值对应将有2个ξ值, 终态是2个值轮流取值, 经2次迭代后回到原先的值,故周期为2. 当449.3544.3》》λ时, 曲线进一步倍分叉,终态是4个值轮流取值, 周期变为4. 当λ继续增大时, 曲线将继续倍分叉, 出现周期为 ,32,16,8等, 这个过程称为周期倍化分叉过程. 当569.3=λ时, 周期变为∞, 即终态可取无穷多的各种不同值, 终态对初值极为敏感, 使之成为不可预测, 即开始出现混沌现象. 在此之前(即569.3《λ时), 终态都是周期的, 可预测的,并与初值无关. 在4569.3≤≤λ区间, 基本上是混沌区, 但不是铁板一块, 其中还有周期窗口等结构. 为了对混沌现象有一个感性认识, 我们把4=λ时所做的数值计算结果列在表中. 3个初值的差别是非常小的, 仅在小数点后第七八位上有差别, 经过10次迭代后所得结果差别不大, 经50次迭代后所得结果差别就很大了, 对初值的敏感性充分显示出来了. 3个初值差别如此小, 在物理上可能已无法分辨, 而把它们视为“同一“初值. 在前10步迭代过程, 它们几乎有相同的演化规律,即演化可预测, 但到了50步迭代后, 3个“同一“初值却产生了极不相同的结果, 好像演化规律出现了随机性. 这就是混沌现象. n )1(41nnnxxx-=+ 0 0.1 0.100 000 01 0.100 000 1 1 0.36 0.360 000 003 2 0.360 000 032 0 2 0.921 6 0.921 600 035 8 0.921 600 358 4 10 0.147 836 559 9 0.147 824 444 9 0.147 715 428 1 50 0.277 569 081 0 0.435 057 399 7 0.937 349 588 2 51 0.802 094 386 2 0.983 129 834 6 0.104 139 309 1 52 0.634 955 927 4 0.066 342 251 5 0.373 177 253 6 二,费根鲍姆常数 1978年费根鲍姆发现在周期倍化分叉过程中存在着普适常数. 设mλ为第m个分叉点的参数值,我们从图看到, 相邻分叉点间的间隔随着分叉过程是越来越小, 通过计算发现相邻分叉间隔之比趋于一个常数9990102609201669.4lim 1 1== - - + - ∞→ δ λλ λλ mm mm m 这个常数具有普适性, 被命名为费根鲍姆常数.周期倍化分叉过程是一条通向混沌的典型道路, 不仅逻辑斯谛映射是这样, 实验证明许多混沌现象, 如受迫的倒摆振动中, 受迫的大幅度单摆运动中的混沌现象等都是通过这条道路产生的,这些过程中同样存在这个普适常数. 三,倒分叉 下面再来说明混沌区中存在的结构, 首先存在倒分叉的结构, 其次还存在许多周期窗口. 当参数λ从4开始逐渐减小时, 混沌区将发生倒分叉现象, 开始时混沌区是一整片, 但当λ减小到小于一个值6678.3)1(=λ时, 单片混沌开始变次,其数值从其中一个跳到另一个. 当λ再减小跨越6592.3)2(=λ时, 2片混沌又分为4片. λ继续减小, 将相继分化为8片, 16片, 32片……等等,分叉值 )3()2()1(,,λλλ收敛到.9569.3 这个倒分叉过程如图所示. 相邻分叉值间距比又收敛于费根鲍姆数, 即 δ λλ λλ = - - + - ∞→ )1()( )()1(lim mm mm m 四,窗口 在4569.3≤≤λ的混沌区中还存在窗口(如图中画的一个), 它代表λ在某个范围内取值时, 终态是稳定的周期解, 这一事实在物理实验或计算机数值计算中能被观察到. 如在8856.34828.3≤≤λ区间存在一个窗口, 在828.3=λ时出现周期为3的解, 在图上呈现出3条曲线, 随着λ值继续增大,又会发生周期倍化分叉过程, 相继出现周期为24,12,6等解, 最初3条曲线每一条都演化成一个 混沌区, 共有3个混沌区; 在每一个混沌区中又上演着倒分叉过程, 并且在混沌区中同样也存在周期窗口. 我们看到在4~1=λ区间中的演化与在8856.3~4828.3=λ窗口中的演化是完全相似的,只是尺度不同而已. 这个从周期3开始的窗口称窗口3.除此窗口外还存在许多其他窗口. 如上所述, 在窗口3内的混沌区中也存在窗口,依上类推, 在这个更小的窗口内也将重复相似的演化. 所以, 从理论上可以想像, 这是一幅精美的图画, 显示出无穷套嵌着的自相似结构. 这些都说明混沌现象与随机现象有着根本区别. 本章着重介绍了20世纪60年代以来在非线性研究中揭示的混沌现象, 它产生于不可积系统,由于方程解的长期行为对初值十分敏感, 出现了貌似随机的行为. 在同一时期, 非线性研究中也揭示了与之相反的另一极端现象, 发现了孤立波(或孤立子) 的存在. 它产生于一批非线性完全可积系统, 它们的解具有规则性和出奇的稳定性, 说明非线性还在产生有序性方面有重要作用. 此外, 科学家也已找到求解这类非线性方程的普遍方法.
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