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主要内容：
本题通过三角函数恒等变形和三角函数换元法两种方法，介绍计算定积分∫dx/[√2+sin(x+1)+cos(x+1)]的方法和步骤,并可以观察出，同一个不定积分结果的表达式可以不唯一。
※.三角函数恒等变形法
I=∫dx/[√2+sin(x+1)+cos(x+1)]，
根据公式sin(x+π/4)=sinxcosπ/4+cosxsinπ/4变形为：
I==∫dx/{√2+√2[sin(x+1)cosπ/4+cos(x+1)sinπ/4]}
=∫dx/[√2+√2sin(x+1+π/4)]，以下提取公因数系数，
=(1/√2)∫dx/[1+sin(x+1+π/4)]，以下根据sin^2x+cosx^2=1变形为，
=(√2/2)∫dx/[sin(1/2)(x+1+π/4)+cos(1/2)(x+1+π/4)]^2,
=(√2/2)∫dx/{√2sin[(1/2)(x+1+π/4)+π/4]}^2
=(√2/4)∫dx/sin^2[(1/2)(x+1)+3π/8],以下根据公式cscx=1/sinx变形为，
=(√2/4)∫csc^2[(1/2)(x+1)+3π/8]dx，以下对微分微元dx进行变形，
=(√2/2)∫csc^2[(1/2)(x+1)+3π/8]d[(1/2)(x+1)]，
以下有积分公式∫csc^2xdx=-cotx+C变形得，
I =-(√2/2)cot[(1/2)(x+1)+3π/8]+C。
※.三角函数换元法
设tan(1/2)(x+1)=t，则x=(2arctant-1)，
同时由三角万能公式有：
sin(x+1)=2t/(1+t^2)，cos(x+1)=(1-t^2)/(1+t^2),
代入所求不定积分，则：
I=∫dx/√2+sin(x+1)+cos(x+1)，
=∫d[(2arctant-1)] /√2+2t/(1+t^2)+ (1-t^2)/(1+t^2)，
=2∫[1/(1+t^2) ]dt /{[√2(1+t^2)+2t+(1-t^2)]/ (1+t^2)},
=2∫dt /[√2(1+t^2)+2t+(1-t^2)],
以下对分母进行关于t的二次函数变形为，
I =2∫dt /[(√2-1)(t+√2+1)^2]
=2 (√2+1)∫dt /(t+√2+1)^2，
以下根据不定积分公式∫dx/x^2=-1/x+C计算得，
I =-2(√2+1)[1/(t+√2+1)]+C,
代入t =tan(1/2)(x+1)，即可计算出本题不定积分结果为，
I =-2(√2+1){1/[tan(1/2)(x+1)+√2+1)]}+C.
2、cscx等于什么
三角函数cscx是余割函数，cscx等于正割函数的倒数，cscx=1/sinx。余割为一个角的顶点和该角终边上另一个任意点之间的距离除以该任意点的非零纵坐标所得之商，这个角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，而其始边则与正X轴重合。
cscx等于正割函数的倒数，cscx=1/sinx。余割为一个角的顶点和该角终边上另一个任意点之间的距离除以该任意点的非零纵坐标所得之商，这个角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，而其始边则与正X轴重合。在直角三角形中，斜边与某个锐角的对边的比值叫做该锐角的余割.记作cscx。余割与正弦的比值表达式互为倒数。余割函数为奇函数，且为周期函数。余割函数记为：y=cscx。
c2=a2+b2-2abcosC,或者等同地，cosC=(a2+b2-c2)/2bc。
在这个公式中，C的角度与c边相对应。这个定理可以通过将三角形分成两个正确的三角形并使用毕达哥拉斯定理来证明。
余弦定律可以用来确定一个三角形的边，如果两边和它们之间的角度是已知的。如果所有边的长度是已知的，它也可以用来找到一个角度的余弦值(因此也可以用来确定角度本身)。
余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
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