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内容导航：1、从零不能做除数所想到的2、0为什么不能做除数：0为什么不能作除数1、从零不能做除数所想到的
从零不能做除数所想到的
（一）为何零不能做除数？ 零不能做除数（或说除数不能为零），在普通的中小学数学教科书中，只说这是规定，并未深入追究，因为其原委在一定程度上已超出了学生的知识领域。那么这个规定的科学性合理性何在？ 假设a÷0=b，我们从以下两方面分析。 （1）当a≠0时，例如a=3，3÷0=b，据乘除法关系应有b×0=3，显然这个数b是不存在的，因为任何数乘0都得0。 （2）当a=0时，0÷0=b，则b×0=0，这时b可以是任何数，即0÷0的商是不确定的，一个结果不确定的运算有什么用呢？假如一件商品价值100元，但顾客可以付给100元，也可以付给1元、0.01元，那谁愿意做这个生意呢？ 综上述，零做除数时，其商不存在或不确定，即零做除数无意义。也可以说，零做除数是非法的。 附带说一点，零不能做除数，意味着分数的分母不能为零，比的后项不能为零。 （二）关于商不存在。 请看以下算式：3÷0.1=30，3÷0.01=300，3÷0.001=3000，…… 可以看出，被除数（零除外）不变时，除数越小商越大。当除数不断逼近于0时，商则不断逼近于无穷大。因此我们可以认为，被除数不为0，除数为0时商是无穷大。因为无穷大不是一个数，所以说此时商不存在。 （三）关于无穷大。 无穷大的同义词有：无限大、无限多、无穷多、无数多。 假设你在银行里有无穷多的存款，今天取出100万（元），明天取出100万，后天再取出100万，……如此取若干次，那怕取成千上万次，这时你账户里的钱还有无穷多，一分也不会少，取之不尽，用之不竭。这就是超出了人们常规思维的一个“怪物”----无穷大。 只所以“怪”，其原因在于无穷大不是一个数，谁也写不出来一个无穷大的“数”。一个数再大，与无穷大相比，可以忽略不计，可以说是零。深入认识无穷大，还必须具备一定的高等数学知识，主要是极限、微积分的概念。所以中小学教材中只说零不能做除数是规定，而回避了对其原委的细究。 （李春甲 2022年4月26日）
2、0为什么不能做除数：0为什么不能作除数
规定一种运算，它的运算结果必须是存在的，而且应该是唯一确定的。当除数为“0”时，被除数不是“0”，商是不存在的；当除数为“0”时，被除数也是“0”，商得不到一个确定的数，所以0不能作为除数。
大家都知道“0”做除数没有意义。我们可以分两种情况加以说明。一种情况是：当除数是“0”，而被除数不是“0”，如7÷0，12÷0等。那就是要求出与“0”相乘的积不等于“0”的“商”来，0乘？=7，0×？=12。因为，任何数与“0”相乘的积都“0”，所以，在这种情况下，商是不存在的，除法计算没有结果。
另一种情况是：当除数是“0”，而且被除数也是“0”，如0÷0。那就是要求出与“0”相乘的积等于“0”的“商”来，0×？=0。因为，任何数与“0”相乘的积都是“0”，所以，在这种情况下，不能得到一个确定的商，商可以是任何数，即商有无限多个。
我们知道，规定一种运算，它的运算结果必须是存在的，而且应该是唯一确定的。但是，当除数为“0”时，被除数不是“0”，商是不存在的；当除数为“0”时，被除数也是“0”，商得不到一个确定的数。因此，必须明确规定“0”不能作除数。因为有了“0”不能作除数这条规定以后，在除法的基本性质中，被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变。在分数的基本性质中，一个分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。在比的基本性质中，比的前项和后项同时乘以或者同时除以相同的数（零除外），比值不变。“零除外”这三个字在完整表述除法、分数、比的基本性质时不能丢。
由此说明，在除法里，“0”不能作除数；对于分数来说，就是分母不能是“0”；对于比来说，就是比的后项不能是“0”。当然，应该强调的是，除法中的除数、分数中的分母、比的后项这三者不是一回事。“比”、“分数”和“除法”之间尽管有着上述的一些联系，但它们毕竟是三个不同的概念。“比”是指两个数（或量）的倍数关系，“分数”是一个数，“除法”是一种运算。
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