其傅里叶变换为地球物理数据处理基础1.二维复序列的FFT算法对于M条测线,N－1）的傅氏变换：地球物理数据处理基础类似于一维实序列FFT的思想,其傅里叶变换对为地球物理数据处理基础对于离散的二维序列fjk（j＝0,二维实序列的快速傅里叶变换（FFT）在地球物理数据处理中,其傅里叶变换为地球物理数据处理基础于是,求出yjk的二维傅氏变换Ymn的复数值：地球物理数据处理基础式中：Rmn,得到二维复序列的傅氏变换Ymn（m＝0,Imn的值换算Xmn的值：地球物理数据处理基础地球物理数据处理基础傅里叶变换1. 傅里叶变换的基本原理遥感图像像元 DN 值随空间位置变化的特性可用频率来进行描述。
傅里叶变换
1. 傅里叶变换的基本原理
遥感图像像元 DN 值随空间位置变化的特性可用频率来进行描述。DN 值的空间变化频率特征可看作为由具有不同频率、振幅和相位的许多正弦波或余弦波叠合而成的复杂波形。一般而言，短距离内的亮度变化 ( 线条或边缘) 相当于高频波，而长距离或大范围内的变化 ( 背景) 则相当于低频波。
图像的傅里叶 ( Fourier) 变换是空间频率的函数，构成一个描述组成该图像的所有正弦波的频率、振幅与相位关系的频谱 ( 傅里叶谱) 。图像的傅氏变换包含着原图像中的所有信息，不同的是量度的方式。通过傅氏变换，可对原图像数据从频率的角度进行频谱特征调整，并可通过傅氏反变换得到最终图像而实现预期目的。
2. 傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换具有线性性质、比例变换性、位移性、周期性、共轭对称性，并服从卷积定理，同时，二维傅里叶变换具有可分离性，即二维傅里叶变换可先后分别沿 x 和 y ( μ和 ν) 两个方向进行运算。
傅氏变换后的傅氏频谱 ( 振幅) 图像是以 | F ( 0，0) | ( 零频相，常称 DC 项) 为中心呈辐射对称的，傅氏频谱图像中任意一点到原点的距离代表该点空间频率的高低，而该点与原点连线的方位角反映了原图像中线性特征信息的方向。
二维傅里叶变换的可分离性有什么实际意义
您对于傅里叶变换恐怕并不十分理解 傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的 所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度 对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示 已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。 傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。 我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
二维实序列的快速傅里叶变换（FFT）
在地球物理数据处理中，经常遇到处理二维实数据的情况。例如在地震勘探中，对面波勘探数据作频散分析解释时，要将时间－空间域的信息转换为频率－波数域频谱；在重磁异常的滤波或转换中，要将空间域的异常f（x，y）转换为波数域F（ω，υ）等。这些分析都需要进行二维的傅里叶变换（FFT）。
根据傅里叶变换的定义，对于连续二维函数f（x，y），其傅里叶变换对为
地球物理数据处理基础
对于离散的二维序列fjk（j＝0，1，…，M－1；k＝0，1，…，N－1），其傅里叶变换为
地球物理数据处理基础
1.二维复序列的FFT算法
对于M条测线，每条测线N个测点，构成复序列yjk（j＝0，1，…，M－1；k＝0，1，…，N－1），根据离散傅里叶公式（8－41），其傅里叶变换为
地球物理数据处理基础
于是，可以分两步套用一维复FFT完成二维复FFT的计算。
（1）沿测线方向计算
对于j＝0，1，…，M－1逐测线套用一维复FFT，执行式（8－43）。定义复数组 则算法为
1）对于j＝0，1，…，M－1，作2）～7）；
2）将yjk输入A1（k），即A1（k）＝yjk（k＝0，1，…，N－1）；
3）计算Wr，存入W（r），即
4）q＝1，2，…，p（p＝log2N），若q为偶数执行6），否则执行5）；
5）k＝0，1，2，…，（2p－q－1）和n＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作
A2（k2q＋n）＝A1（k2q－1＋n）＋A1（k2q－1＋n＋2p－1）
A2（k2q＋n＋2q－1）＝［A1（k2q－1＋n）－A1（k2q－1＋n＋2p－1）］·W（k2q－1）
至k，n循环结束；
6）k＝0，1，2，…，（2p－q－1）和n＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作
A1（k2q＋n）＝A2（k2q－1＋n）＋A2（k2q－1＋n＋2p－1）
A1（k2q＋n＋2q－1）＝［A2（k2q－1＋n）－A2（k2q－1＋n＋2p－1）］·W（k2q－1）
至k，n循环结束；
7）q循环结束，若p为偶数，将A1（n）输入到Yjn，否则将A2（n）输入到Yjn（n＝0，1，…，N－1）；
8）j循环结束，得到Yjn（j＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1）。
（2）垂直测线方向计算
对于n＝0，1，…，N－1逐一套用一维复FFT，执行式（8－44）。即
1）对于n＝0，1，…，N－1，作2）～7）；
2）将Yjn输入A1（j），即A1（j）＝Yjn（j＝0，1，…，M－1）；
3）计算Wr存入W（r），即
4）q＝1，2，…，p（p＝log2M），若q为偶数执行6），否则执行5）；
5）j＝0，1，2，…，（2p－q－1）和m＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作
A2（j2q＋m）＝A1（j2q－1＋m）＋A1（j2q－1＋m＋2p－1）
A2（j2q＋m＋2q－1）＝［A1（j2q－1＋m）－A1（j2q－1＋m＋2p－1）］·W（j2q－1）
至j，m循环结束；
6）j＝0，1，2，…，（2p－q－1）和m＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作
A1（j2q＋m）＝A2（j2q－1＋m）＋A2（j2q－1＋m＋2p－1）
A1（j2q＋m＋2q－1）＝［A2（j2q－1＋m）－A2（j2q－1＋m＋2p－1）］·W（j2q－1）
至j，m循环结束；
7）q循环结束，若p为偶数，将A1（m）输入到Ymn，否则将A2（m）输入到Ymn（m＝0，1，…，M－1）；
8）n循环结束，得到二维复序列的傅氏变换Ymn（m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1），
所求得的Ymn是复数值，可以写为
Ymn＝Rmn＋iImn （m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1）
其中，Rmn，Imn的值也是已知的。
2.二维实序列的FFT算法
对于二维的实序列，我们把其看作是虚部为零的复序列，套用上述的二维复序列FFT方法来求其频谱算法上也是可行的，但势必会增加大量的无功运算。因此，有必要研究二维实序列FFT的实用算法，同一维实序列FFT的实现思路一样，同样把二维实序列按一定的规律构造成二维复序列，调用二维复序列FFT，然后通过分离和加工得到原实序列的频谱。
例如采样区域有2 M条测线，每条测线有N个点，并且M，N都是2的整数幂，需要计算实样本序列xjk（j＝0，1，2，…，2 M－1；k＝0，1，2，…，N－1）的傅氏变换：
地球物理数据处理基础
类似于一维实序列FFT的思想，直接建立下面的二维实序列FFT算法：
（1）将一个二维实序列按偶、奇线号分为两个二维子实序列，分别作为实部和虚部组合为一个二维复序列。即令
地球物理数据处理基础
（2）调用二维复FFT过程，求出yjk的二维傅氏变换Ymn的复数值：
地球物理数据处理基础
式中：Rmn，Imn是Ymn的实部和虚部。
（3）利用Rmn，Imn换算Xmn的值。
前两步容易实现，下面分析第（3）步的实现。
记hjk，gjk的傅氏变换为Hmn，Gmn。根据傅里叶变换的定义，我们导出Xmn与Hmn，Gmn的关系式：
地球物理数据处理基础
式中，Hmn，Gmn为复数，我们用上标r和i表示其实部和虚部，将上式右端实部、虚部分离
地球物理数据处理基础
其中：
地球物理数据处理基础
下面的任务是将Hmn，Gmn各分量与通过二维复FFT求出的Rmn，Imn值联系起来。为此先给出奇、偶分解性质和类似于一维情况的三个二维傅氏变换性质：
（1）奇偶分解性
任何一个正负对称区间定义的函数，均可唯一地分解为如下偶（even）、奇（odd）函数之和：
地球物理数据处理基础
（2）周期性
地球物理数据处理基础
（3）复共轭性
地球物理数据处理基础
现在我们来建立Rmn，Imn与Hmn，Gmn的关系。对Ymn作奇偶分解：
地球物理数据处理基础
根据线性性质
地球物理数据处理基础
对照式（8－54）和式（8－55），得
地球物理数据处理基础
由于hjk，gjk是实函数，根据复共轭性质，上面两式对应的奇偶函数相等。即
地球物理数据处理基础
再由奇偶分解性和周期性，得
地球物理数据处理基础
将式（8－57）代入式（8－50），得
地球物理数据处理基础
再利用Hmn，Gmn周期性及复共轭性，可以得到m＝M/2＋1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1的傅氏变换，即
地球物理数据处理基础
将式（8－50）中M，N改为M－m，N－n，并将上式代入，得
地球物理数据处理基础
由式（8－58）、式（8－59）和式（8－61）即可得到原始序列xjk（j＝0，1，…，2M－1；n＝0，1，…，N－1）在m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1区间的傅氏变换Xmn。
具体二维实序列的FFT算法如下：
（1）令hjk＝x2j，k，gjk＝x2j＋1，k，形成
yjk＝hjk＋igjk （j＝0，1，…，2 M－1；n＝0，1，…，N－1）
（2）调用二维复序列FFT过程，即从两个方向先后调用一维复FFT算法式（8－43）和式（8－44），求得yjk的二维傅氏变换Ymn的复数值：
Ymn＝Rmn＋iImn （m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1）
（3）用下列公式由Rmn，Imn的值换算Xmn的值：
地球物理数据处理基础
地球物理数据处理基础
傅里叶变换
1. 傅里叶变换的基本原理
遥感图像像元 DN 值随空间位置变化的特性可用频率来进行描述。DN 值的空间变化频率特征可看作为由具有不同频率、振幅和相位的许多正弦波或余弦波叠合而成的复杂波形。一般而言，短距离内的亮度变化 ( 线条或边缘) 相当于高频波，而长距离或大范围内的变化 ( 背景) 则相当于低频波。
图像的傅里叶 ( Fourier) 变换是空间频率的函数，构成一个描述组成该图像的所有正弦波的频率、振幅与相位关系的频谱 ( 傅里叶谱) 。图像的傅氏变换包含着原图像中的所有信息，不同的是量度的方式。通过傅氏变换，可对原图像数据从频率的角度进行频谱特征调整，并可通过傅氏反变换得到最终图像而实现预期目的。
2. 傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换具有线性性质、比例变换性、位移性、周期性、共轭对称性，并服从卷积定理，同时，二维傅里叶变换具有可分离性，即二维傅里叶变换可先后分别沿 x 和 y ( μ和 ν) 两个方向进行运算。
傅氏变换后的傅氏频谱 ( 振幅) 图像是以 | F ( 0，0) | ( 零频相，常称 DC 项) 为中心呈辐射对称的，傅氏频谱图像中任意一点到原点的距离代表该点空间频率的高低，而该点与原点连线的方位角反映了原图像中线性特征信息的方向。