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在数学史上，微积分的创立是继Euclid几何之后的最伟大的创造之一。微积分首先解决了当时17世纪的四类科学问题：1.已知加速度-时间函数，求物体的速度和移动距离；2.求曲线的切线；3.求函数的最值；4.求曲线弧长，曲线围成的面积等。
今天，我们就来学习微积分中的微分与导数。
第1节，讲微分和导数的概念：
设f(x)在邻域U(x0)中有定义，当给一个增量Δx，满足Δx+x0 ∈U(x0)时，可以得到函数的增量Δy=f(Δx+x0)-f(x0)，如果存在与Δx无关的常数A ,使得可以表示为Δy=A*Δx + o(Δx)，那么就说f(x)在点x0可微，A*Δx是函数在x0的微分，记作dy|x=x0 = A*Δx。我们可以看出，微分是一个增量的线性函数，微分dy 与增量Δy 与高阶无穷小o(Δx)存在关系：Δy = dy + o(Δx)。注意这里可微是点态的可微-连续定理：若f(x)在x0可微，则函数在x0连续。设f(x)在邻域U(x0)中有定义，若极限 lim [(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx] Δx->0 存在，则称f(x)在点x0可导，该极限值称为函数在x0的 导数，记作f`(x0)。这里的定义也是点态的。可以看出，极限，沟通了可导与可微，lim Δy/Δx Δx->0 = lim {A*Δx + o(Δx))/Δx =A Δx->0导数是是通过极限来描述的，极限分左极限和右极限，不难得出，导数分为左导数和右导数，左右导数统称为单侧导数导数存在定理：导数f`(x0)存在 <==> 该点的左右导数都存在且相等，即 f`-(x0) = f`+(x0)可微-可导定理：f(x)在x0可微 <==> f(x）在x0可导，且 A=f`(x0)；即是 Δy=f`(x0)Δx + o(Δx), 有限增量公式根据可微-连续定理 和 可微-可导，得出：若f在x0可导，则在x0处连续。反映了可微，可导，连续的关系。导函数，简称导数：若函数f 在区间I每一点都可导，则称f在I上的可导函数。提醒，每一点可导，可以推出每一点连续，可以得出一致连续，即在I上的可导函数，是I上的一致连续函数，注意与之前的知识连续，连续性与导数，微分关系密切。第2节，讲求导方法和导数公式：
定义法求导：lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) x->x0导数的四则运算，与函数极限的四则运算类似。加减法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)±v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)±v`(x0)乘法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)v(x0)+u(x0)v`(x0)推论：若函数v(x)都在x0可导，C为常数，则函数Cv(x) 在x0 处可导，且(Cv(x0))`=Cv`(x0)除法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，且v(x0)≠0，则函数f(x)=u(x)/v(x) 在x0 处可导，且 f`(x0)=[u`(x0)v(x0)-u(x0)v`(x0)]/(v(x0))^2反函数求导定理：设y=f(x) 为 x=φ(y)的反函数，若φ(y)在点y0的某邻域内连续，严格单调，且φ`(y0)≠0，则f(x)在x0上可导，且f`(x0)=1/φ`(y0)复合求导定理：y=f(u)在u0可导，u=g(x)在x0可导，u0=g(x0)，则复合函数fOg在x0处可导，且(fOg)`(x0)=f`(u0)·g'(x0)=f'(g(x0))·g`(x0)，这也称为链式法则。第3节，讲微分的计算与应用：根据导数法则，dy=f`(x)dx x∈I，不难推出微分运算法则
d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)d[u(x)·v(x)] =v(x)·du(x)+u(x)·dv(x)d[u(x)/v(x)]=(v(x)du(x)-u(x)dv(x))/v^2(x)d[fOg(x)]=f`(u)g'(x)dx，其中u=g(x)，du=g`(x)dx，这个称为一阶微分形式不变性，可用于推导积分换元公式。应用：工程上的近似计算，取x0=0,Δx=x，在x0=0 附近，f(x)≈f(0)+f`(0)x,当|x|充分小，sinx≈x,tanx≈x,ln(1+x)≈x,1/(1+x) ≈ 1-x,e^x ≈ 1+x ；也用在测量误差第4节，高阶导数与高阶微分，之前讲的微分与导数都是一阶的，这里学习高阶的：
一阶导数的导数是二阶导数，定义与一阶导数类似，这里只讲形式：lim (f`(x)-f`(x0)/（x-x0）=f``(x0)，同理有三阶导数，。。。，n阶导数高阶导数公式：y^(n) = [y^(n-1)]`高阶导数运算法则：1）[Cu(x)]^(n) = C u^(n)(x) C是常数2）[u(x)±v(x)]^(n) = [u(x)]^(n)±[v(x)]^(n)3)[u(x)v(x)]^(n) = ∑Cn^k u^(n-k)(x)v^(n)(x)，莱布尼兹公式二阶微分：d(dy) = d(f`(x)dx)=(f``(x)dx)·dx=f``(x)(dx)^2，记作d^2y=f``(x)dx^2n阶微分：d^ny=f^(n)(x) dx^n，从二阶微分开始，丧失微分形式不变性第5节，参数方程与导数，偏向于应用
参数方程的定义：通过辅助变量t，来表示x,y的关系用参数方程表示函数的导数--摆线方程用极坐标方程表示曲线的切线--对数螺线切线方程参数方程表示函数的高阶导数--摆线方程本章最重要的是导数微分的概念和公式，后面两节偏向于实用方向。
2、tanx的导数是什么
sec²x
tanx求导的结果是sec²x，可把tanx化为sinx/cosx进行推导。求导的定义：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限；在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
(tanx)'=1/cos²x=sec²x=1+tan²x。tanx求导的结果是sec²x，可把tanx化为sinx/cosx进行推导。其计算过程为：[sinx/cosx]'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/(cosx)^2=sec²x。求导的定义：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限；在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
tanx属于正切函数，是单调递增函数、周期函数、奇函数。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanB=b/a，即tanB=AC/BC。
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