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内容导航：1、图形与几何---垂线2、垂线是直线还是线段1、图形与几何---垂线
一．概念描述
现代数学：若两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，则称这两条直线互相垂直，这时四个交角都是直角。交点称为垂足，亦称垂趾。垂直用“I”表示，读作“垂直于”。若两条直线互相垂直，则其中一条为另一条的垂线。
小学数学：小学阶段各版本教材对垂线所下的定义是相同的。即如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。这两条直线的交点叫作垂足。
二．概念解读
垂线所研究的是平面几何中两条直线的一种位置关系，所以“在同一平面内”是研究垂线的前提条件。垂线的上位概念是两直线“相交”。有唯一公共点的两条直线称为相交直线。当两条直线相交后，必然会产生交角。当两条直线相交所构成的四个交角中有一个是直角。这两条直线就互相垂直，其中一条直线称为另一条直线的垂线。因此，两直线垂直属于两直线相交的范畴，垂线亦是相交线的一种特殊情况。
早在公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》中就提出了垂线的定义：“当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角中的每一个被叫作直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。”这里对于垂线定义的描述虽与现代数学定义在描述上稍有不同，但其实质是
相同的。随着对垂线的深入研究，一些重要结论的出现，丰富了人们对垂线概念的认知。如“同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”、“点到直线间垂线段最短”，这些结论在小学数学教材中都有涉及，能够帮助学生加深对于平面内两直线垂直这种特殊位置关
系的理解。
数学符号是数学抽象思维的产物，因此“I”符号的产生是源于垂线的特征，它来源于象形，实际上是缩小的图形。小学数学教材中是以在图中两直线相交处标示“┒”，来表示两直线互相垂直的。
三．教学建议
在小学阶段的平面几何中，垂线的概念非常重要。它是认识三角形、平行四边形、梯形等平面图形特征的基础。我们可以从以下几方面着手进行教学。
(1)小学阶段垂线概念的形成要经历两次抽象
垂线概念的形成要借助直观，使学生在活动重经历概念的形成过程，并要体现两次抽象：一是从“实物”抽象出“图形”；二是从“图形”抽象出“概念”。由于相交线是垂线的上位概念，两者联系密切，所以教学时两者不能分开。因此，垂线的教学可以通过生活中有关相交线（含垂线）的场景图引入，隐去非本质的内容，进而抽象出相交线的几何图形，使学生获得两条直线位置关系的生动表象，经历把生活问题抽象成数学问题的过程。然后通过观察、操作、分类等数学活动，用从一般到特殊的研究方法，将图形中的垂线从相交线中分离出来，再对垂线的本质属性进行研究，从而抽象出垂线的概念。
(2)在分类中辨析，建构垂线的几何模型
在学习垂线时，分类的数学思想起到了十分重要的作用。陈海霞老师在讲这一内容时，先引导学生在一张纸上画出两条直线不同位置关系的多种情况，并让学生进行分类。学生将其分成两类：相交和不相交。对于相交的情况，陈老师又引导学生进行再分类。学生又将相交线分成了相交成直角和相交不成直角两类。其中两条直线相交成直角的这种特殊情况，便是两直线垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。学生对垂线几何模型的建立，主要是在两次分类和辨析的过程中建立的。学生在分类辨析的过程中，更加明确了两条直线垂直与相交的关系，以及两直线垂直是两直线相交的一种特殊情况。
(3)沟通联系，培养学生的空间观念
由于生活中不存在直线，因此教学垂线时，教师要帮助学生沟通有限（线段）和无限（直线）之间的联系。这个沟通的过程，有的教师采用画线的方法，有的教师采用摆小棒的方法，引导学生进行无限长的想象。在此过程中，学生的空间想象力得到了发展。
在教学垂线时，还要注意沟通垂线和生活的联系。2011版《课标》指出，“要结合生活情境了解两条直线的垂直关系”。又因为生活经验的回忆与再现是发展学生空间观念的有效途径之一，因此，教师要结合生活中一些需要用垂线解决问题的情境，使学生感受到在现实生活中有一些问题需要用到垂线的知识来解决。如“要在新建小区到公路间修一条小路，怎样修最近？”这个问题的解决，实际需要利用“点到直线的距离最短”的垂线的性质和垂线的画法。在解决问题的过程中，学生不但感受到了数学的应用价值，同时还培养了其空间观念。
四．推荐阅读
(1)《小学数学的基础理论》（钟善基、李家骏，北京师范大学出版社，1996）
该书的第六章主要对小学几何教学中所反映出的有关相交线和垂线的基本知识进行了介绍。
(2)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）
该书的第七章第五节论述了垂直的相关知识。
2、垂线是直线还是线段
直线。在垂直线的定义中，只有两条线的角度（90度），而不是两条线的位置。
这意味着，不管一条直线的位置，只要与之相交的角度为90度，这两条线中的任意一条都是垂直的。
如果两条直线相交的四个拐角中有一个是直角，那么这两条直线就是彼此垂直的，而一条垂线中的一条称为垂线。要知道，在垂直线的定义中，只有两条线的相交角度（90度），而不是两条线的位置。这意味着，不管一条直线的位置，只要与之相交的角度为90度，这两条线中的任意一条都是垂直的。实际上，教师总是喜欢在"垂线"这个概念中引入一条垂直线。
据说，在砌墙的时候，要把一条垂直线挂起来，也就是用一条细线挂上一把重锤，因为重力的作用，它会在垂直于地面的水平面上。此时，铅垂线和水平线，因为水平线和铅垂线的特殊位置，对学生也有一定的影响，以后一提起垂线，就会觉得它是一条铅垂线，很不方便。像是从日常生活中常用的梯子而来。
但是，当人们把梯子放在一个特别的地方时，它就会在脑子里形成一个典型的梯形，也就是梯形和上下两个脚掌都是水平的。学习几何的概念，经常来自于现实的例子，这是非常有必要的。几何是从实践中来的。
事例有助于我们对概念的认识和建立观念。很多几何学的观念来自生命，但比生命更重要。以实例为依据，力求从本质上把握概念的本质，突破事例的限制，避免对概念的专门化。
线段是直线上两点间的部分，射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分。它们都是直线的一部分.若射线向反向延长，或线段向两方延长，都可以得到直线，若线段向一方延长可得射线，在直线上取两点可以得到一条线段，取一点可以得到两条射线。（1）端点：直线没有端点；射线只有一个端点；线段有两个端点。（2）延长：直线2边可无限延长；射线端点另一端可无限延长；线段不能延长。
（3）测量：直线、射线无法测量，线段可以测量。（4）表示：直线：一条线，不要端点；射线：一条线，只有一边有端点 ；线段：一条线，两边都有端点。
垂线是直线还是线段
线段。线段公垂线定义如下：一条线段同时垂直于两条或两条以上线段或直线，这条线段就是被垂直的线段或直线的公垂线段根据定义，公垂线为线段。
两点之间的连线叫线段，线段向两边无限延伸叫直线，线段向一边无限延伸叫射线，两条直线相交且有一个夹角为9o度，这两条直线互为垂线，二条直线没有公共点则两直线平行。
垂线是直线吗
垂线(perpendicular line)是两条直线的两个特殊位置关系,：当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,即两条直线互相垂直(perpendicular),其中一条直线叫做另一直线的垂线,交点叫垂足(foot of a perpendicular).垂线段最短.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,这两个角相等或互补.同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.所以 垂线是直线垂线段和垂直线段有什么区别
1、垂直线是垂直与直线、线段、平面的直线，没有长度和距离。垂线段是垂直与直线、线段、平面的线段，有长度和距离。
即垂直线不可度量，而垂线段可度量。
2、垂线段是连接直线外一点与垂足形成的线段；垂直线是两条互相垂直的直线互为对方的垂直线。3、垂线段侧重突出的是某条具有垂直关系的线段；垂直线则着重强调的是某条线段与另外的线有垂直关系。扩展资料1、在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。2、证明两条直线互相垂直的方法：（1）直接用定义。
即证相交两直线所构成的角中有一个是直角，或通过计算，求出其中的一个角等于90°。（2）如果一三角形中，有两个内角之和等于90°，那么这个三角形是直角三角形。（3）一条直线垂直于平行线中的一条，则这条直线也垂直于平行线中的另一条直线。
（4）利用等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合。（5）利用勾股定理逆定理。即在△ABC中，如果它的三条边有关系式，那么∠C=90°(这个三角形是直角三角形)。
（6）利用菱形的性质，即菱形的两条对角线互相垂直平分。（7）利用垂径定理及其逆定理。例如，在圆O中，P是弦AB的中点，连结OP，则OP⊥AB。
（8）利用圆周角定理的推论。即在圆中，直径所对的圆周角是直角，或半圆所对的圆周角等于90°。（9）利用定理：在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（10）利用切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
垂线是直线还是射线？
垂线是直线。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
垂线段是一个图形，点到直线的距离是一个数量。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称之点到直线的距离，若两条直线相交，且相交后的四个角都为90°，则这两条直线互相垂直，即为互为垂线。垂线的定义中，只是规定了两直线交角的大小(90°)，并没有规定两条直线的位置如何。也就是说，不论一条直线的位置如何，只要另一条与它的交角是90°，其中任何一条直线就是另一条直线的垂线。垂线的基本性质是：（1）过直线上或直线外的一点,有且只有一条直线和已知直线垂直（在同一平面内）。
（2）从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，条直线的垂线其中的一条直线叫做另一条线的垂线。注意到垂线的定义中，只是规定了两直线交角的大小(90°)，并没有规定两条直线的位置如何。
也就是说，不论一条直线的位置如何，只要另一条与它的交角是90°，其中任何一条直线就是另一条直线的垂线。直线由无数个点构成。直线是面的组成成分，并继而组成体。
没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。直线是轴对称图形。它有无数条对称轴，其中一条是它本身，还有所有与它垂直的直线（有无数条）对称轴。
在平面上过不重合的两点有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。在球面上，过两点可以做无数条类似直线。构成几何图形的最基本元素。在D·希尔伯特建立的欧几里德几何的公理体系中，点、直线、平面属于基本概念，由他们之间的关联关系和五组公理来界定。
射线（ray）是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线有且仅有一个端点，无法测量长度（它无限长）。在欧几里德几何学中，直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线。几何学中的射线，我们通常形象地把它看作是手电筒发出的光线。若端点为A，除端点外的射线上任意一点为B，则这条射线可记为射线AB。
注意：端点A在先，另一点B在后。否则就会出错。两条端点相同，方向不同的射线，是两条不同的射线。两条端点相同，方向也相同的射线，则是同一条射线。
垂线和垂直线段的区别是什么?
垂线和垂直线段的区别是垂线段是特指从指定点到指定直线的垂足的连线这个线段。而垂直线段则可以是任何一个与特写线段垂直的线段。
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。
1、垂直线是垂直与直线、线段、平面的直线，没有长度和距离。垂线段是垂直与直线、线段、平面的线段，有长度和距离。即垂直线不可度量，而垂线段可度量。2、垂线段是连接直线外一点与垂足形成的线段；垂直线是两条互相垂直的直线互为对方的垂直线。
3、垂线段侧重突出的是某条具有垂直关系的线段；垂直线则着重强调的是某条线段与另外的线有垂直关系。垂直定理：1、一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。2、假设两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3、假设两个平面相互垂直，那么经过首先个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在首先个平面内。4、假设两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
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