关于【彩色平面图怎么做】，用PS制作室内设计彩色平面图的方法，今天涌涌小编给您分享一下，如果对您有所帮助别忘了关注本站哦。
内容导航：1、彩色平面图怎么做：用PS制作室内设计彩色平面图的方法2、黑与白：如何创造完美的彩色对称图案1、彩色平面图怎么做：用PS制作室内设计彩色平面图的方法
很多小伙伴不知道，用PS制作室内设计彩色平面图有哪些方法，下面我们就一起来看看吧！
操作方法
首先，打开你要制作彩平图的CAD文件，然后点击打印文件，在打印设置中选择打印机名称为“DWG to PDF”，将文件转变为PDF格式，点击确定保存，步骤如下图：
将保存的PDF格式文件在PS中打开，再然后，创建一个新图层，命名为图层2，将图层2的底色改为白色，将图层2放在图层1下面。打开后效果如下图：
我们使用PS的裁剪工具，把图放大就行，放大到合适的位置。然后在给图层加一个底色，一般都是灰色和白色，我们现在添加一个白色。点击新建图层，把图层放在图层1下面，然后填充白色。
接下来贴地毯 ，打开已经挑选好的地毯图，复制到之前的步骤3的PS文件中，新建一个图层 将地毯贴图复制下来，然后把地毯移动到阴影层下面。再复制地毯层移动到左边地毯区即可。
地毯做完了以后，我们开始做石材，同样是先打开石材贴图然后复制到我们制作的文件中去，调整位置，可将多余出来的地毯删掉，把石材贴纸复制到步骤4的文件中，调整位置，同样将多余的部分删掉，然后再调整颜色。
经过以上的制作，再细化下图层的立体效果以及颜色的深化处理，图层的整体效果基本已经出来啦！
点击左边黄色框出的渐变工具， 然后在左上方黄色框处选择灯光颜色，选好之后，新建一个图层用鼠标以任意一点为圆心拖出，这样就是做好一个灯光图层啦！
复制灯光层到步骤6，然后移动到相应的位置就可以啦！
2、黑与白：如何创造完美的彩色对称图案
女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
使用等距创造和“完美的颜色”对称镶嵌图案。不假定读者具有等距、群论或计算机科学的知识。学生、设计师、教师或任何其他对几何和艺术(尤其是几何对称性)的相互作用感兴趣的人，以及使用计算机图形学实现的可能性，都可以从这篇文章中学习。
这篇文章的标题既可以从字面上理解，也可以从形象上理解。我们将为设计者提供 "白纸黑字 "的指导，以创建一个对称图案，然后为其 "完美上色"，我们将把讨论主要限制在用两种颜色（黑色和白色）为对称图案着色。在这个问题上并不缺乏数学文献；事实上，由于色彩对称的主题是在过去25年中才被探索和发展的，因此这类文献令人困惑（参考文献[20]列出了100多篇与该主题有关的论文）。最近的几篇论文（见[20]和[21]）有助于指出不同作者对 "颜色对称性 "的一些限制性假设或不同的解释，这肯定会使天真地寻找该主题信息的读者感到困惑。在这篇文章中，我们依靠色彩对称的定义和理论，这些定义和理论已经成为当前的 "标准"，并为分析、分类和创造彩色对称图案提供了最合理的手段。
我们从讨论开始，旨在帮助设计者理解和使用被称为等距图的几何机械来创建平面的对称图案和镶嵌。一旦做到这一点，我们就可以解释如何“完美地着色”这样的设计。熟悉等距图和周期图案生成的读者可以跳过第一部分。
1.等距变换与图案密铺的生成
装饰艺术和平面设计在每一个历史时期都是每一种文化的重要组成部分，并且在今天仍然很重要。我们在参考文献中只收录了几个此类设计的集合；有丰富的文献可以证明这类艺术的风格和应用的多样性。(Dover图片档案馆是此类插图的绝佳来源。)
在商业和装饰艺术中发现的许多(也许大多数)图形设计都具有对称性：设计的一部分(主题或单个拼块)周期重复，以创造整个设计。如果用保持形状的几何变换来描述这种关系，那么只有四种不同的方式可以将图案或拼块与其自身的同源副本联系起来。数学家称这些变换为等距变换(iso=equal，metron=measure)，四种不同类型的变换是平移、旋转、反射和滑移反射。
1.1平移。
平面中点的平移会使所有点在同一方向上移动相同的距离。矢量(箭头)表示移动的方向，其长度是点移动的距离。当将相同的平移T重复应用于主题时，它创建了一排等间距的主题图像，所有图像都朝向相同的方向。颠倒矢量的方向，但不是它的长度，我们得到了一个平移，用-T表示，它可以在相反的方向上无限重复主题(见图1)。
图1：在一个图案上重复应用平移T，就会产生一个周期性的边框设计。
这样产生的边框或饰带设计（理论上是无限延伸的），被称为由平移T产生的，并被称为周期性边框设计。整个边框设计的“周期”只是矢量T的长度。整个边框设计的特性是，如果它被平移T或-T，那么图案就会叠加在它们的全等副本上——对观看者来说，边框看起来与平移前完全一样。
周期性边框密铺的创建方式与此相同：从单个密铺开始，然后通过单个平移重复平移它。由于这样的密铺应该使密铺彼此交错(密铺之间没有缝隙，也没有密铺重叠)，因此密铺必须满足平移施加的简单条件。假设我们将拼块水平平移到其相邻副本，则仅当每个拼块的左侧与其右侧具有相同的边界形状时，这两个拼块才会互锁或匹配。我们可以准确地描述如何创建这样的拼块(参见图2)。从任意平行四边形开始，将左下角A和左上角B与任何不相交的曲线连接起来，然后平移该曲线的副本，使副本将右下角D连接到平行四边形的右上角C。平行四边形的底边AD可以作为实现这一点的平移T的向量。如果边框只有一个密铺“高”，则将B到C与任何本身不相交且平移T或-T后不与密铺的左边缘或右边缘相交的曲线连接起来(当然，角部除外)。执行相同的操作以创建密铺的底边，连接A和D。完成的密铺重复转换为T和-T，将生成周期性的边界密铺。
图2：通过平移填充周期性边界镶嵌的拼块的生成。
给定一个由平移T1产生的周期性边界设计，如果我们采取第二个平移T2，其矢量不平行于Tl，并重复地将T2和-T2应用于边界，那么就会产生一个 "墙纸 "图案，该图案在两个方向上有规律地重复，并且该设计延伸到整个平面。这样的设计被称为二维（或平面）周期性设计，由TI和T2生成[见图3（a）]。
如果我们在原始图案上选择一个点P，并记录P的所有副本，因为它被T1和-T1、T2和-T2反复平移，那么这些图像就形成了一个无限的点阵，即平面上的点阵。这个格子中任何两个相邻的点都代表一个平移矢量的端点，当平移矢量应用于整个图案时，会将其叠加在自己身上。事实上，任何端点为周期性平面图形晶格中任何两个点的矢量都将对应于一个平移，这个平移将把整个图形叠加在自己身上。这是矢量加法的结果：首先应用平移T1，然后应用平移T2的结果与应用称为T 1+T 2的平移相同，其中三个平移矢量由图3(b)中的三角图关联。同样地，2T1是一个与T1相同方向的矢量，具有T1的两倍长度。连续应用几个平移可以产生一个平移，具有任何想要的矢量，连接两个晶格点。
图3：(a) 独立的平移T1和T2，重复应用于一个图案，以产生一个墙纸图案。(b) (a)中图案的点阵，以及平移T1和T2的 "矢量相加 "的图示。
周期性平面密铺，其中通过平移重复单个密铺以填充平面，可以被认为是周期性边界密铺，其中边界的副本被“小心地”堆叠以填充平面。限定词“小心”指的是堆叠的确切过程:无限的边界被相同的向量(上面的T2和T2)反复平移，以填充平面。当然，就像拼块边界一样，我们要求拼块彼此完全贴合；这要求边界密铺的“顶部”和“底部”匹配，以及密铺的“左”和“右”边缘匹配。因此，要创建这样的拼块，像前面一样从任何平行四边形开始，创建左右匹配边，使用平行四边形的底部作为向量T1来匹配这些边。然后，以同样的方式，使用平行四边形的左侧作为匹配这些边缘的矢量T2，创建匹配的拼块的底部和顶部边缘。和以前一样，注意拼块的边缘(和它们的平移)不要交叉。图4显示了两个这样的拼块的创建；注意，在图4(b)中，拼块的左边缘的一部分被用作拼块的底边缘的一部分。
图4： 通过改变一个平行四边形，创建了一个拼块，通过重复应用平移T1和T2来填充平面。(a)中的拼块有两对 "平行边"，可以看作是一个 "广义的平行四边形"。(b)中的拼块有三对平行边，被称为 "准六边形"；以类似方式创建的拼块，其边缘是弯曲的或弧形的，可被视为 "广义准六边形"。
1.2 旋转
平面内各点的旋转是通过将平面围绕一个固定点 (称为旋转的中心)。当旋转的角度是360°的整除数时，例如 360°/n，那么这个旋转被称为n重旋转。这个术语强调了这样一个事实，如果一个平面上的图案通过围绕一个固定中心的360°/n角的连续旋转而被重复，那么这个图案就会被重复。固定的中心，那么这个图案在经过n次这样的旋转后就会回到它的原始位置。一个这样的设计，被称为具有n重的旋转对称性（见图5）。
图5. (a) 将一个图案围绕固定的中心O旋转120°，就会产生一个具有3重复旋转对称性的设计。(b) 一个具有六重旋转对称性的设计。
360°的旋转（n=1）会将平面内的每一个点送回原来的位置；这种等距线与让每一个点固定的效果相同，被称为个体等距线。在n=2的特殊情况下（旋转角度为180°），旋转通常被称为半圈，由一个图案及其图像在半转下创造的设计被称为具有点对称性，或中央对称性。这个术语强调了这样一个事实：在这样一个设计中，图案上的每个点P在图案的图像上都有一个唯一的对应点P'：这两个点P和P'是一条线段的端点，其中点是半转的固定中心。图6说明了中心对称的概念；图6(b)的 "字母形式S "是由华莱士·沃克设计的。
图6. (a) 在一个具有中心对称或点对称的设计中，每个点P都可以和它的图像P'配对。(b) 华莱士·沃克设计的S字样就是中心对称的典范。
正如通过改变平行四边形的边来创建通过平移填充边界的拼块一样，可以通过改变圆心角度为360°/n的圆形扇区(楔形)AOB的边来创建通过n倍旋转来填充“玫瑰花环”的拼块。使用任何不相交的曲线，将扇区的顶点O连接到扇区圆弧的端点A。将曲线围绕O旋转360°/n的角度，使曲线的图像连接O到B。(如果曲线的图像与原始曲线交叉，请调整原始曲线并重复。)。拼块是通过用任何简单的曲线连接A到B来完成的。将这块拼块旋转n-1次，约为O，就会填满花环拼块(参见图7)。
图7：一块填充了四重旋转对称的玫瑰花环的拼块，可以从一个中心角度为90°的圆形楔子上制作出来。
1.3反射
平面上的点的反射由一条称为镜像线或反射轴的固定线确定：不在该线上的每个点都被发送到其相对于该线的镜像，而该线上的每个点都保持固定。(这是一个“双面”镜像；也就是说，点和它们的镜像从字面上交换位置。)。在几何上，这意味着每个不在镜像线上的点P都被发送到点P‘(其镜像)，其中P和P’是垂直平分线为镜像线的线段的端点。如果同一反射重复两次，则平面中的每个点都将发送到其原始位置。图8(A)说明了这些注释；这里和所有后续插图中的镜像线由双线表示，这是文献中的惯例。
两个反射的重复动作，每个都有不同的镜像线，更有趣。如果R1是镜线m1中的反射，R2是镜线m2中的反射，并且m1平行于m2，那么反射R1后面跟着反射R2将对平面中的点具有与平移相同的效果，该平移的向量垂直于镜线并且长度是它们之间距离的两倍。大多数读者都目睹过当一个物体被放在两个平行的镜子之间时，图像及其反射的无限重复。因此，通过将R1和R2重复应用于图案而产生的设计是周期性边界设计，其中相邻的图案是镜像，并且每隔一个图案是平移的图像[参见图8(b)]。
图8(A)镜面m上的反射将平面上的每个点送到它的镜像上；如果P和P‘是彼此关于m的镜像，那么m上的反射使它们互换位置。(B)图案在两面平行镜中的重复反射创造了周期性的边框设计。首先在镜子m1中反射主题，然后在m2中反射其图像。与用向量T平移主题具有相同的效果。
如果镜线ml和m2相交于O点，那么反射R1和R2对平面内各点的影响与围绕O点的旋转是一样的。这个现象在万花筒的作用中大家都很熟悉：当彩色物体被放在形成180°/n角的两面镜子之间时，物体及其反射的美丽对称重复就构成了一个圆形设计。因此，要创造一个具有这种万花筒对称性的设计，只需将一个图案放在两条相交于180°/n角的镜面线之间，并在镜面线中反复反射物体及其倒影（图9）。
图9. (a) 一个图案在两面镜子中的重复反射，两面镜子相交60°，形成一个具有3重万花筒对称性的花环图案。(b) 一片雪花具有六重万花筒对称性。(c) 通过改变中心角为90°的圆形楔形的 "外部 "边界而产生的拼块，可以反映在楔形的两个直边上，从而产生一个具有两重万花筒对称性的花环拼块。
以这种方式填满玫瑰花丛的单个拼块必须是有直边的楔形:拼块的侧面是完成的玫瑰花丛的镜像线。创建这种拼块的唯一自由是选择“外部”边界段(见图9(c))。
1.4 滑移反射
滑移反射，顾名思义，是平面内点的变换，它结合了平移（滑移）和反射。它可以通过反射后不停地进行平行于镜像线的平移来获得，或者通过平移后在平行于平移矢量的镜像线上进行反射。一个单一的矢量，称为滑移矢量（在我们的插图中为虚线），经常被用来表示镜像线和平移矢量。当一个单一的滑移反射被重复应用于一个图案时，它就会产生一排等距的图案图像，其中反射和直接图像交替出现。这种图案很像沙地上的脚印，它们是等距的，交替出现：左脚，右脚。我们可以观察到，对一个图案连续施加两次滑移反射的效果与通过两倍滑移距离的平移T相同。如果-G表示滑移矢量与G相反的滑移反射，那么G和-G产生一个周期性的边界设计，其平移周期为2G=T（见图10）。
图10. 在一个图案上重复应用滑移反射G可以创造出一个周期性的边界设计。在图案上连续两次应用G，与通过矢量T平移图案的效果相同。
创建将通过连续应用滑移反射填充边界的拼块的一种方式是从分别具有M和N作为边AB和CD的中点的矩形ABCD开始[图11(A)]。用不相交的曲线连接拐角A和B。将曲线平移到CD，然后在镜像线MN中反射平移的曲线。曲线的滑移反射图像将连接C和D，但方式却相反：A处的端点的图像将在C处，而B处的端点的图像将在D处。(如果滑移反射的图像与曲线从A相交到B，请调整原始曲线并重复。)。将A到D和B到C的曲线连接在一起，这些曲线除了在A、B、C、D处之外，不与左右“边”相交。此密铺将通过重复应用滑移反射和滑移矢量MN来填充边界。
图11：通过重复应用滑移反射来创建填充周期性边界的拼块的两种方法。请注意，尽管在(a)和(b)中都是由同一个矩形ABCD指导拼块的形成，但(b)中的滑移矢量是(a)中滑移矢量的一半长度。
另一种通过滑移反射创建拼块来填充边界的方法是，从一个中心为O的矩形ABCD开始，M为AB的中点，P为AD的中点[见图11（b）]。用不相交的曲线将P与B相连，将B与C相连。使用滑移矢量MO对这些曲线进行滑移反射；连接P和B的曲线的图像将连接C和P，而连接B和C的曲线的图像将成为通过重复滑移反射创建的下一块拼块的底边。现在，通过重复应用滑移矢量MO来填充边界拼块。
我们在这里的目的不是彻底探索四种类型的等距图及其性质，而是让设计者了解它们是如何定义的，其中一些如何相互作用，以及如何使用等距图创建周期性设计和镶嵌。变换几何学是对等距及其相互作用的研究；必须彻底研究，以充分理解为什么(从数学的观点来看)如此有限数量的对称设计是可能的。(下一节将说明可能性是多么有限。数学家们没有先验地强加给设计者艺术上的羁绊，但是如果设计者希望在设计中使用等距来创造某种对称，那么几何学将强加某些限制。参考文献[27]给出了变换几何的初步介绍；参考文献[3]也包含等距的讨论。
能够使用计算机图形的设计师在使用等距线进行设计时有一个强有力的帮助。一些计算机系统（甚至是微型计算机）已经 "内置 "了平移、反射和旋转的动作。对于那些没有的，四种等值线中的每一种都可以很容易地用一个3×3的矩阵来表示，它作用于平面上的点，以(x, y, 1)的形式表示为向量（前两个坐标是点的通常的笛卡尔坐标；例如，见[16]）。因此，利用 "硬件 "或 "软件"，或两者兼而有之，设计者可以将一个图案输入计算机，让计算机对该图案进行变换以创造一个设计，然后仔细检查结果并保留它（打印或存储）、调整它或销毁它。将计算机作为一个划痕垫，可以比手工制作各种试验性的设计有更多的试验机会。
2.对称群与设计的分类
数学家(和许多科学家)根据其对称群对设计或镶嵌进行分类：这是所有等距图的集合，当应用于设计或镶嵌时，创建一个完全叠加在原始图像上的图像，这样，在眼睛看来，好像没有发生任何变换。(据说这种设计在这些等距下是不变的。留下设计不变量的等距图通常被称为设计的对称性；因此，数学家们声称描述性形容词“对称”是命名创造设计的对称特性的动作(转换)的名词。“群”这个词不仅描述某些等距集合，而且也用于其技术数学意义。尽管群结构的细节对于我们的描述目的来说并不重要，但正是这种代数结构构成了分类理论的基础。
从艺术的角度来看，按对称组对设计进行分类并不是特别有用——这种识别方法几乎不能告诉我们设计的艺术价值或丰富性。例如，一个简单的星号*的对称组与图9(b)中的雪花玫瑰花图案的对称组是一样的，更糟糕的是，每一个不对称的设计（除了同一性之外在任何等值线下都不不变的设计）都有相同的对称组，即只由同一性的等值线组成的组。为了公平地进行批评，我们应该注意到，当这个分类系统被用于相当有限的设计背景时，例如考古发掘的地层中的陶器上的设计，它在对类似的设计进行分组时可能非常有用（例如，见文献[25]）。
我们这里的重点是通过使用等距图来创建设计，而不是对完成的设计进行分类。设计者通过创建图案或拼块来控制艺术“输入”,然后通过选择特定的等距来重复图案或拼块来控制设计或拼块的对称性。然而，通过使用等距来创建设计和镶嵌，最终产品将具有由生成设计的相同等距生成的对称组——分类是自由的。我们需要使“生成”这个词(在前面的句子中有两种用法)更加精确，以便仔细描述可能的不同对称群。
每个设计师都想用最少的 "成分 "来创造一个由单一图案或拼块的重复图像组成的设计。第1节中介绍了三类不同的设计：花环设计、周期性边界设计和周期性平面设计。还介绍了每种类型的相应的拼块。对于这些类别中的每一个，我们都想定义一个设计的生成区域的概念，以及一个设计的最小生成器集合。
玫瑰花结设计
为了能够明确地指出玫瑰花形图案所占据的面积，我们认为这种图案是以O为圆心的圆，圆的半径可以根据需要而定。如果要通过围绕O旋转图案n次来创建设计，那么在O处具有360°/n角度的楔形(扇形)是放置图案的最小区域。(将图案想象成刻在木块上的圆形图案:完成的图案必须填满圆形区域，图案的n个等间距图像围绕O旋转。)围绕O旋转360°/n，重复作用于楔形物，将产生完整的玫瑰花形图案[图12(a)]。我们还假设选择的主题是“极小的”；也就是说，没有一个小部分的主题，当围绕O旋转时，将产生整个设计。楔形将被称为设计的生成区域(它是平面的最小区域，其图像填充了包含设计的整个圆)。单次旋转R是这种设计的发生器:将R重复应用于包含主题的发生区域，产生整个设计。这种设计的对称群由n个旋转组成，它们是R的倍数；对称群的符号是Cn，(n个元素的循环群)。
图12：具有四重旋转对称的玫瑰花形图案具有对称群C4。(a)中的楔形是设计的生成区域；(b)中改变的楔形是相同设计的另一个生成区域[注意，生成区域(b)“更适合”主题]。
对于这种设计，楔形(具有直边)不是唯一可能的生成区域；事实上，如果图案非常弯曲，更好的产生区域将是具有弯曲或弧形侧面的“楔形”，以类似于图7所示的方式产生[见图12(b)]。尽管图12所示的两个生成区域的形状不同，但是注意它们的面积是相同的。这通常是正确的：一个设计的任意两个生成区域具有相同的面积。
如果玫瑰花形设计具有n重万花筒对称，则选择角度为180°/n(O)的楔形作为放置图案的生成区域是最自然的选择。两个反射R1和R2，它们的镜像线是楔形的边，将产生设计；也就是说，图案及其图像在这两条镜像线中的重复反映将填充整个玫瑰花结设计。如果我们假设图案不具有镜像对称性(如果有的话，它可以沿着对称轴分开，只使用其中的一半)，那么就需要两个等距图来创建整个设计。因此，对于这种类型的设计，最小的生成器集将包含两个等距。尽管在一个设计的最小生成元集中等距图的数量是唯一的，但是这些等距图的选择并不总是唯一的。例如，产生图9(a)中的设计的另外两个等距图是反射R1和围绕O的120°旋转。
一般来说，具有n重万花筒对称性的设计的对称群由Cn中的n个旋转和n个反射组成，其中相邻镜线之间的角度为180°/n。该组被表示为Dn，并被称为有n个镜面的二面体组。Dn中的2n个等分线中的每一个都是设计的最小生成器集合中的两个等分线的 "乘积"（有限组合）。因此，我们说这两个等分线产生了对称组Dn。通过这些定义，设计的生成器和对称群的生成器可以被认为是相同的。
玫瑰镶嵌
对于玫瑰镶嵌，我们不需要考虑围绕镶嵌的(人工)圆；这种镶嵌的边缘提供了它自己的轮廓分明的环绕边界。因此，具有旋转对称或万花筒对称的镶嵌的生成区域将是最小的镶嵌，当由生成等距反复作用时，该区域填满整个镶嵌。其全等副本填充图7和9(c)中所示的玫瑰花形镶嵌的拼块为那些镶嵌生成区域。玫瑰花结拼块的最小生成元集与具有相同对称群的玫瑰花结设计的生成元集相同。
周期性边界设计
我们将考虑这些设计被包围在两条平行线(边界的边缘)之间，也就是说，被包围在一条有限宽和无限长的带中，并且具有与边缘等距的中心线L。要被称为“周期性的”，这样的边界设计必须由一组有限的等距图生成，其中包括平移，并且所有的等距图都将条带叠加在自身上。很容易发现，可用于生成周期性边界设计的唯一等距图是平移(向量平行于L)、滑移反射(滑移向量在L上)、反射(具有镜像线L或镜像线垂直于L)和半圈(关于位于L上的中心)。虽然看起来这些等轴面可能有很多种组合来创建不同的边界设计，但相互作用实际上是非常有限的:只有七个不同的对称组是由这些等轴面的组合生成的。所谓不同，我们是指(粗略地)这些组包含不同的等距集合。]
最简单的周期性边框设计是通过对图案重复应用平移T(和-T)来创建的，如图1所示。如果我们考虑用油毡块上雕刻的图案来冲压这样的设计，那么可以将生成区域(块)视为一个平行四边形，底面等于T的矢量，高度等于条带的宽度。我们将这个特定的生成区域称为平移单元，以表示它是一个最小的区域，当被T和-T重复平移时，它会产生整个边框设计。(这假设主题在平移对称性方面是“最小的”；也就是说，在某个较短的平移向量的重复作用下，主题的任何较小部分都不能产生整个设计。)。我们说T生成设计，T生成设计的对称群，它将由mt，m是整数形式的所有平移组成。当然，我们也可以将一个“改变”的平移单元作为一个生成区域：让一个弯曲的边界代替一个平移单元的左边缘，并使用向量T将该边界平移到匹配的右边缘。生成区域的形状不同，但面积保持相同。
每一个周期性的边框设计都会通过平移对其图案进行有规律的重复；使设计不变的最短平移向量将被作为该设计的平移单元的基础。例如，图10中所示的由单一滑移反射G生成的设计，其最短的平移矢量为2G。周期性边框设计的生成区域将是边框的一个最小的区域，当它被设计的生成器反复作用时，将产生整个边框设计。例如，刚才提到的设计的生成区域，由G生成，可以被看作是半个平移单位，因为G作用于这个包含图案的生成区域将创造整个设计。
我们组织了描述表1中七种周期性边界设计的信息。这七个对称群没有完全标准的符号，但是我们使用了一些参考文献中的符号。对于每种类型的设计，我们给出一个生成区域的大小(相对于一个平移单位)，最小生成集的等距数(以及这些集的等距的可能选择)。七个边界中的两个由单个等距生成，四个边界具有包含两个等距的最小生成元集，一个边界需要三个等距作为生成元。表1还包含对每个对称组中的等距图的描述，并显示了放置在典型生成区域中的图案以及具有该图案的边界设计的一部分。半转中心和镜像线的位置以及下滑矢量的长度是很重要的，并且证明了两个等距图的“乘积”等价于另一个等距图。在表1中，最小平移向量的长度对于所有七个边界是相同的，并且所有平移单元具有相等的面积。使用该表，设计者可以选择图案，决定要创建的设计的对称类型，将图案放置在合适的生成区域中，并使用最小的生成器集(适当定位)来创建期望的边界设计。
表1：周期性边界设计的七种不同类型。
边界镶嵌
对于周期性的边界镶嵌，我们不需要把镶嵌封闭在一个有限宽度的人工带中：镶嵌的边缘勾画出被镶嵌覆盖的平面的一个明确的区域。因此，这种镶嵌的生成区域将是最小面积的镶嵌，当由一组等距反复作用时，它将填满整个边界。这种镶嵌中的平移单元是仅通过平移填充整个边界的最小拼块块。表2与表1相似，给出了创建周期性边界镶嵌的信息，并给出了每种边界类型的示例。
表2：周期性边界密铺的七种对称类型。左列包含对称组的符号，中间列显示生成区域以及每个密铺的最小生成器集。
周期性的平面设计
在第1节中，我们描述了两个独立的平移T1和T2如何重复应用于一个图案，创造出一个墙纸图案，以及这些平移对图案的一个点的作用如何在平面上创造出一个点的格子（见图3）。以向量T1和T2为边的平行四边形将被称为格子单元；这是这个设计的生成区域，只有平移对称性。平移T1和T2可以作为该设计的最小生成器集（我们假设该图案是 "最小 "的，也就是说，当被某组等值线作用时，该图案的任何小部分都不会生成整个设计）。
只有平移对称性的墙纸设计是最简单的周期性平面设计。额外的等值线可用于创建具有更复杂对称性的周期性平面设计，但这种等值线的选择，无论是在类型上还是在数量上，都非常有限。只有n=2、3、4或6的n重旋转，以及选定的反射和滑移反射也可以成为周期性平面设计的对称性，而这种设计只有17个不同的对称组。(证明有17个不同的对称群是利用了几何学和群论；例如，见文献[4]和[6]。[4]和[6]）。每个周期性的平面设计在其对称组中必须有两个 "最短 "的独立平移（这些对应于设计的周期性）：这种设计的格子单元是一个平行四边形，其边是这两个平移的矢量（许多作者将这种平行四边形称为单元格）。设计的平移单元将是平面的最小面积，当这两个平移反复作用于它时，它就会填满整个设计。平移单元的形状可以不同，但对于一个给定的设计，任何平移单元的面积都等于一个格子单元的面积。对于周期性的平面设计，一个生成区域将是平面的最小部分，当它被设计的对称性反复作用时，就会填满整个设计。对于17种类型的设计中的每一种，该设计的所有生成区域将具有相同的面积（但不一定是相同的形状），这将是该设计的格子单元的面积的一部分。(许多数学参考文献用基本域这个词来表示我们所说的生成区域）。
参考文献[18]解释了平面对称群的符号；我们在表3中总结了说明上述概念的信息。表3显示了17种设计类型中的每一种，包含阴影生成区域的格单元和该设计的最小生成元集。还显示了每种设计相对于晶格单元的全套对称性。(当然，表3中显示的最小生成集不是唯一的；为每个对称群寻找所有不同的最小生成元集，就像我们为表1中的边界设计所做的那样，是一个有趣且有教育意义的练习。)通过将图案放置在生成区域中并通过生成等距图重复作用于该区域，设计者可以创建具有特定对称组的周期性平面设计。
表3：对于每个对称群，左图显示了包含生成区域(阴影)和最小生成元集的格单元。右图显示了一个晶格单元，在该晶格单元的边界内和边界上具有所有对称性，作为图案对称性的平移由形成晶格单元边的矢量产生。
周期性平面镶嵌
通过在两个方向上的连续平移来创建填充平面的拼块的简单方法在第节中描述。1:小心地改变平行四边形。具有简单几何形状(三角形、矩形、菱形、六边形)的拼块可用于创建比平移具有更多对称性的拼块。但更多的变化是可能的:在大多数情况下，M. C. Escher的富于幻想的动画拼块是周期性平面镶嵌的生成区域(见参考文献。[14]).参考文献[19]包含创建单个拼块(在创建其边界时具有极大的自由度)的配方，该拼块将使用三个半圈作为生成器来填充平面。Griinbaum和Shephard在论文中展示了各种各样的镶嵌；[18]中包含了17种对称类型中每一种的单个说明性密铺。(对这些参考文献的一句解释:平面的等面镶嵌或拼块传递镶嵌是这样一种镶嵌，其中由镶嵌的对称群的一组生成元重复作用的单个拼块填充整个镶嵌。在某些情况下，该单个拼块可能大于生成区域；也就是说，拼块的一部分可能足以创建整个拼块。)
周期性平面镶嵌的最小“成分”与周期性平面设计的相同。生成区域将是最小面积的拼块，当对称群的生成元重复作用时，其图像填充整个平面。平移单元将是仅使用平移来填充整个平面拼块的最小拼块块。为了说明可以选择用于生成区域的各种形状，在表4中，我们为17个对称群中的每一个显示了一个生成区域以及相应镶嵌的生成等距图和平移单元。生成区域的边界是通过“改变”表3中所示的简单阴影生成区域来创建的，使用生成等距来创建与这些等距的动作兼容的拼块的边界。对于除了pmm、p3m1和p4m之外的所有对称组(例外情况是pmm、p3m1和p4m )，我们已经能够选择没有固有对称性的拼块作为生成区域，因此它们创建的镶嵌只有那些作为生成等距的产物的等距具有对称性。
表4 列1：对称群；列2：生成器的最小数目；列3：生成区和生成器的最小集合；列4：生成区相对于晶格单元的面积；列5：形成平移单元的拼块；列6：用于拼块的晶格单元。
参考文献
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青山不改，绿水长流，在下告退。
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