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1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
p
q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但q
p，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但p
q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p
q，且q
p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．下列语句是命题的是( )
A．梯形是四边形 B．作直线AB
C．x是整数 D．今天会下雪吗
A [D不是陈述句，B、C不能判断真假．]
2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
3．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
A [只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.]
4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4
x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]
充分条件、必要条件的判断
【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bc.
[解] (1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0
x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似
两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞b
ac＞bc，且ac＞bc
a＞b，
故p是q的既不充分也不必要条件．
定义法判断充分条件、必要条件
(1)确定谁是条件，谁是结论
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
[解] (1)因为四边形的对角线相等
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形
四边形的对角线相等，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0
(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
提示：若p是q的充分不必要条件，则A
B，若p是q的必要不充分条件，则B
A.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？
提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨] →→
{m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q
p.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p
q.
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}
{x|－2≤x≤10}，
所以，解得0<m≤3.
即m的取值范围是{m|0＜m≤3}．
2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．
[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
(1)化简p，q两命题；
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；
(3)利用集合间的关系建立不等式；
(4)求解参数范围.
充要条件的探求与证明
【例3】 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．
[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p⇒q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
②证明q⇒p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)q不是p的必要条件时，“p
q”成立．( )
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
m＝－2 [函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
4．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
[解] 由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p⇒q，所以A⊆B，
所以即－≤a<0，
所以a的取值范围是.
2、充分条件和必要条件的区别：必要条件和充分条件的区别
必要条件和充分条件的区别
一、判断方法不同
1、必要条件：如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
2、充分条件：如果A能推出B，A就是B的充分条件
二、条件不同
1、必要条件：如果能由结论推出 条件，但由条件推不出结论，此条件为必要条件 。
2、充分条件：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件。
三、推导不同
1、必要条件：如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，就说A是B的必要条件。
2、充分条件：如果A是B的充分条件。那么属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。
必要条件和充分条件的区别
一、判断方法不同
1、必要条件：如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
2、充分条件：如果A能推出B，A就是B的充分条件
二、条件不同
1、必要条件：如果能由结论推出 条件，但由条件推不出结论，此条件为必要条件 。
2、充分条件：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件。
三、推导不同
1、必要条件：如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，就说A是B的必要条件。
2、充分条件：如果A是B的充分条件。那么属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。
必要条件和充分条件的区别
充分条件：
如果条件A是结论B的充分条件：A与其他条件是并连关系，即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立（就像是个人英雄主义），如下图：
用法：
1、如果条件A存在，B肯定成立，即A→B（箭头表示能够推导出）
2、如果B不成立，则说明所有可能的条件都不存在，因此A肯定也不存在，即非B→非A
3、如果条件A不存在，而条件C、D可能存在，也可以使得B成立，即不能导出非A→非B
必要条件：
条件A是结论B的必要条件：A与其他条件是串联关系，即条件A必须存在，且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。（团结的力量）如下图：
用法：
我简单表示为A+…→B(中间的点表示还有其他条件)
1、如果B成立了，说明所有条件都存在，肯定存在条件A。即B→A。
2、如果条件A不存在，串联少了一个条件，B也肯定不能成立，即 非A→非B。
3、如果B不成立，可能是C，D不存在但A存在，只是C、D掉链子了，即不能导出 非B→非A。
试题中的用法：
先判断出各个关键词之间是充分还是必要关系，然后用关键词和箭头画出之间的关系，例如：A是B的充分条件，A’是B的必要条件，则画出来A→B←.....+A’，然后根据必要条件A’+…→B能推导成B→A’的特点转化为A→B→A’
然后根据四个正确推论：A→B ，非B→非A，B→A’，非A’→非B和
两个错误推论：非A→非B ，非B→非A’即可进行判断。
对于公务员考试中此类题的简单解题方法，我在专栏里做了详细介绍，需要的话请移步专栏：充分必要条件 - 简单解题方法，如果完全理解消化了的`话，应该就能很顺利地解决这类题目了。
下面先举一个例子简单说明试题中的做法：
例题：只有住在广江市的人才能够不理睬通货膨胀的影响;如果住在广江市，就得要付税;每一个付税的人都要发牢骚。
根据上述判断，可以推出以下哪项一定是真的?
(1)每一个不理睬通货膨胀影响的人都要付税。
(2)不发牢骚的人中没有一个能够不理睬通货膨胀的影响。
(3)每一个发牢骚的人都能够不理睬通货膨胀的影响
分析：先一句句分析：
只有住在广江市的人才能够不理睬通货膨胀的影响
“只有。。。才。。。”在这里表示必要条件，“住在广江市”是“不理睬通货膨胀”的必要条件，但是不充分（因为有可能不光“住在九江”，还得“有九江户口”等条件才能“不理睬通货膨胀”），标记为：住在广江市+...→不理睬通货膨胀，根据必要条件A+…→B的正确推论B→A的特点，转化为：不理睬通货膨胀→住在广江市。
（注：“只有。。。才。。。”也可能表示充分必要条件，区别是这个条件是不是导致结论的唯一条件。比如“只有触犯了刑法才按照刑法进行处罚”，“触犯了刑法”是“按照刑法进行处罚”的唯一条件，因此是充分必要条件。而本题中，仅仅“住在广江市”，如果没有收入等，那也不能够“不理睬通货膨胀”，因此需要其他条件进行串联才能够导致“不理睬通货膨胀”，因此在此题中是仅仅是必要条件而不是充分必要条件。）
如果住在广江市，就得要付税
“如果。。。就。。。”表示充分条件，住在广江市是付税的充分条件，标记为：住在广江市→付税。
每一个付税的人都要发牢骚
“。。。都要。。。”也表示充分条件，付税是发牢骚的充分条件，标记为：付税→发牢骚。
然后连起来就是：不理睬通货膨胀→住在广江市→付税→发牢骚。
对于（1），根据上面画出来的推导链条，充分条件能连续推导，很明显是对的。
对于（2），根据充分条件推理的非B→非A的特点，以不发牢骚为起点反推，不发牢骚→不付税，不付税→不住在广江市，不住在广江市→理睬通货膨胀，也就是说没有人能够不理睬（双重否定即肯定），因此（2）也正确。
对于（3），由于充分条件推理只能非B→非A，不能够B→A，因此推导不回去。
注：判断是“充分条件”还是“必要条件”还是“充分必要条件”，最好不记关键词而是应该理解判断表达的意思，因为很多句子没有“只有”、“才”、“就”等关键词。
如果条件能够导致后面的结论，那就是充分条件，比如“住在九江要付税”，可以理解出“住在九江”已经能够导致“付税”成立，那么“住在九江”就是“付税”的充分条件；
如果结论想要成立必须需要前面的条件，就是必要条件，如“付税需要住在九江”，可以理解出“住在九江”是“付税的一个条件，但可能需要其他条件，比如“月薪需要超过3500”，因此“住在九江”就是“付税”的必要条件，表示很必要，但是还不够充分导致结论；
如果前面的条件是后面结论成立的唯一条件，那么就相互是充分必要条件。这个比较容易判断。
@一只猪
，对于你提的问题，我试着推导解释了一下，请批判式阅读。
1、如果p是q的充分条件，那么q一定是p的必要条件。
解释：“p是q的充分条件”，根据充分条件图：
如果q（B）不成立，则说明所有可能的条件都不存在，因此p（A）肯定也不存在，也就是说q的存在对于p的存在是必要的。因此q一定是p的必要条件。
2、如果p是q的必要条件，q一定是p的充分条件。
解释：“p是q的必要条件”，根据必要条件图：
如果q（B）成立，则说明包括p（A）在内所有可能的条件肯定都存在，因此p（A）肯定也存在，也就是说q的存在对于p的存在已经很充分，不需要别的其他条件。因此q一定是p的充分条件。
3、p对于q是不充分的，q对于p一定不必要。
分两种情况：
1）p对于q是必要不充分的，那么q对于p一定是充分不必要条件。
解释：“p对于q是必要不充分的”，根据必要条件图：
如果q（B）成立，则说明包括p（A）在内所有可能的条件肯定都存在，因此p（A）肯定也存在，也就是说q的存在对于p的存在已经很充分，不需要别的其他条件。因此q一定是p的充分条件。
“p对于q不充分”是说除了p必须还有其他条件共同存在才能导致q存在。只能推断出p和q不是充分必要条件。这句话不能得出其他推论。
在“q是p的充分条件”的基础上，假如q也是p的必要条件，那么q就是p的充分必要条件，那么p也是q的充分必要条件，与1）“p对于q是必要不充分的”相矛盾，且与“p和q不是充分必要条件”相矛盾，因此q不是p的必要条件。
因此，q对于p一定是充分不必要条件。
2）p对于q是不必要不充分的，那么q对于p不充分也不必要。
解释：“p对于q是不必要不充分的”，则p和q没有任何关系，因此q对于p不充分也不必要。
综合1）和2），q对于p一定不必要。
4、如果p对于q不必要，q对于p一定不充分。
分两种情况：
1）p对于q充分不必要，那么q对于p一定必要不充分。
解释：“p对于q是充分不必要的”，根据充分条件图：
“p对于q是充分的”，就是说如果q（B）不成立，则说明所有可能的条件都不存在，因此p（A）肯定也不存在，也就是说q的存在对于p的存在是很必要的。因此q一定是p的必要条件。
“p对于q是不必要的”，说明不一定需要p存在，而是存在其他条件也能够导致q存在，因此q存在不一定是因为p存在，还有可能是其他条件存在，因此q的存在不能推导出p存在，因此q是p的不充分条件。
因此，q对于p一定是必要不充分条件。
2）p对于q不充分不必要，那么q对于p一定不必要也不充分。
解释：“p对于q是不充分不必要”，则p和q没有任何关系，因此q对于p不必要也不充分。
综合1）和2），q对于p一定不充分。
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